Question

如圖所示，一條長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線上端固定在O點(diǎn)，下端系一個(gè)質(zhì)量為m的小球，將它置于一個(gè)很大的方向水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，已知小球在B點(diǎn)時(shí)平衡，細(xì)線與豎直線的夾角為45°，求：
（1）現(xiàn)將小球提至某一位置懸線伸直，試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明此時(shí)懸線與豎直方向夾角應(yīng)為多大，才能使小球由靜止釋放后運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)時(shí)，小球速度恰好為零？
（2）當(dāng)細(xì)線與豎直方向成45°角時(shí)，至少要給小球一個(gè)多大的速度，才能使小球做完整的圓周運(yùn)動(dòng)？（結(jié)果可保留根號(hào)）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)小球在B點(diǎn)靜止，由平衡條件求出電場(chǎng)力大小．小球由靜止釋放后運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理求解釋放時(shí)懸線與豎直方向的夾角．
（2）當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到關(guān)于B對(duì)稱(chēng)的A點(diǎn)時(shí)，恰好由重力和電場(chǎng)力的合力提供向心力時(shí)，小球能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求出臨界速度，再由動(dòng)能定理求出小球的初速度．

解答：解：（1）小球靜止在B點(diǎn)時(shí)，根據(jù)平衡條件得
    mgsin45°=Fcos45°
得到，電場(chǎng)力F=mg
從釋放點(diǎn)到最低點(diǎn)過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理得
   mgL（1-cosα）-FLsinα=0
 得到，sinα+cosα=1
解得，α=90°
（2）設(shè)當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到關(guān)于B對(duì)稱(chēng)的A點(diǎn)時(shí)，臨界速度為v_A．根據(jù)牛頓第二定律得
 Fsin45°+mgsin45°=m

v 2 A

L

解得，v_A=

2gL

由A到B過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理得
mg2Lcos45°+F2Lsin45°=

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 A

解得，vB=

5 2gL

答：
（1）懸線與豎直方向夾角應(yīng)為90°，才能使小球由靜止釋放后運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)時(shí)，小球速度恰好為零．
（2）當(dāng)細(xì)線與豎直方向成45°角時(shí)，至少要給小球一個(gè)

5 2gL

的速度，才能使小球做完整的圓周運(yùn)動(dòng)．

點(diǎn)評(píng)：本題是帶電粒子在電場(chǎng)和重力場(chǎng)的復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，分析受力情況是基礎(chǔ)．對(duì)于第（2）問(wèn)找到類(lèi)似于豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)的條件是關(guān)鍵．