Question

4．如圖所示，長為L的細繩豎直懸掛著一質(zhì)量為M=2m的小球A，恰好緊挨著放置在水平面上質(zhì)量為m的物塊B．現(xiàn)保持細繩繃直，把小球向左上方拉至細繩與豎直方向成60°的位置，然后釋放小球，小球到達最低點時恰好與物塊發(fā)生彈性碰撞，碰后物塊則向右滑行了L的距離而靜止，
（1）求物塊與水平面間的動摩擦因數(shù)μ．
（2）如果μ符合第（1）問，討論：M≥m，物塊B在水平面滑動距離S的范圍．（提示：解決范圍問題，定要確定上下邊界兩個量）

Answer 1

分析 （1）小球向下擺動的過程中機械能都守恒，根據(jù)機械能守恒定律求出碰撞前小球的速度大小．根據(jù)動量守恒定律和機械能守恒定律求出碰撞后物塊的速度大小，根據(jù)動能定理研究向右滑動過程，求出物塊與水平面間的動摩擦因數(shù)μ．
（2）根據(jù)上題的結(jié)果，分析B獲得的速度范圍，由動能定理求物塊B在水平面滑動距離S的范圍．

解答 解：（1）對小球下擺過程分析，根據(jù)機械能守恒定律得：
   2mgL（1-cos60°）=$\frac{1}{2}$•2mv₀² 
解得：v₀=$\sqrt{gL}$
設小球與物塊碰撞后，小球的速度為v₁，物塊的速度為v₂，選向右方向為正方向．
由動量守恒定律得：
   Mv₀=Mv₁+mv₂
由能量守恒定律得：
   $\frac{1}{2}$Mv₀²=$\frac{1}{2}$Mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²
又 M=2m
解得 v₂=$\frac{2M}{M+m}$v₀=$\frac{4}{3}\sqrt{gL}$
對物塊向右滑行的過程，根據(jù)動能定理得：
-μmgL=0-$\frac{1}{2}$mv₂²
聯(lián)立解得 μ=$\frac{8}{9}$
（2）由v₂=$\frac{2M}{M+m}$v₀變形得：v₂=$\frac{2}{1+\frac{m}{M}}$v₀．
當M=m時，v₂最小，物塊B在水平面滑動距離S最�。畍₂最小值為 v_2min=v₀=$\sqrt{gL}$
由動能定理得：-μmgS_min=0-$\frac{1}{2}$mv_2min²
解得 S_min=$\frac{9}{16}$L
當M→∞時，v₂最大，物塊B在水平面滑動距離S最大．v₂最大值為 v_2max=2v₀=2$\sqrt{gL}$
由動能定理得：-μmgS_max=0-$\frac{1}{2}$mv_2max²
解得 S_max=$\frac{9}{4}$L
所以S的范圍為 $\frac{9}{16}$L≤S≤$\frac{9}{4}$L
答：
（1）物塊與水平面間的動摩擦因數(shù)μ是$\frac{8}{9}$．
（2）S的范圍為 $\frac{9}{16}$L≤S≤$\frac{9}{4}$L．

點評 本題采用程序思維進行分析，把握各個過程的物理規(guī)律是關鍵．要知道彈性碰撞遵守兩大守恒定律：動量守恒定律和機械能守恒定律．