Question

如圖所示，有兩塊大小不同的圓形薄板(厚度不計(jì))，質(zhì)量分別為M和m，半徑分別為R和r，兩板之間用一根長(zhǎng)的輕繩相連結(jié)（未畫出）。開始時(shí)，兩板水平放置并疊合在一起，靜止于距離固定支架C高度處。然后自由下落到C上，支架上有一半徑為 ()的圓孔，圓孔與兩薄板中心均在圓板中心軸線上。薄板M與支架發(fā)生沒有機(jī)械能損失的碰撞（碰撞時(shí)間極短）。碰撞后，兩板即分離，直到輕繩繃緊。在輕繩繃緊的瞬間，兩板具有共同速度V.不計(jì)空氣阻力，，求：

1.兩板分離瞬間的速度大小V₀ ；

2.若，求輕繩繃緊時(shí)兩板的共同速度大小V ；

3.若繩長(zhǎng)未定，（K取任意值），其它條件不變，輕繩長(zhǎng)度滿足什么條件才能使輕繩繃緊瞬間兩板的共同速度V方向向下。

 

Answer 1

 

1.2m/s

2.

3.

解析:(1) 開始 M與m自由下落，據(jù)機(jī)械能守恒：(M+m)gh＝(M+m)V₀²   （2分）

所以，V₀＝＝2m/s    （2分）

（2）M碰撞支架后以V₀返回作豎直上拋運(yùn)動(dòng)，m繼續(xù)下落做勻加速運(yùn)動(dòng)。經(jīng)時(shí)間t， M上升高度為h₁，m下落高度為h₂。則：

h₁＝V₀t－gt²    h₂＝V₀t＋gt²，                      （1分）

則h₁＋h₂＝2V₀t＝0.4m，    故：         （1分）

設(shè)繩繃緊前M速度為V₁， m的速度為V₂，有

V₁＝V₀－gt＝2－10×0.1＝1m/s   （1分）

V₂＝V₀＋gt＝2＋10×0.1＝3m/s   （1分）

繩繃緊時(shí)，取向下為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒， mV₂－MV₁＝(M+m)V（2分）

得  （1分）

（3）要使兩板共同速度V向下，由于為任意值，必須使M板反彈后在下落階段繩子才拉直。

當(dāng)M剛到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，細(xì)繩繃緊，此時(shí)繩長(zhǎng)最小。

薄板M速度減為0的時(shí)間 （1分）

薄板M上升的最大高度 （1分）

這段時(shí)間內(nèi)薄板m下降 （1分）

繩長(zhǎng) （1分）

當(dāng)M下落到C處時(shí)，細(xì)繩繃緊，此時(shí)繩長(zhǎng)最長(zhǎng)。

當(dāng)M落到C時(shí)，歷時(shí) （1分）

薄板m下降距離為 （1分）

綜上可得，要使V向下，繩長(zhǎng)應(yīng)滿足。（1分）