Question

20．如圖所示，太陽和地球組成“日地雙星系統(tǒng)”，兩者繞共同的圓心C（圖中未畫出）做周期相同的圓周運動．數(shù)學家拉格朗日發(fā)現(xiàn)，處在拉格朗日點（如圖所示）的航天器在太陽和地球引力的共同作用下可以繞“日地雙星系統(tǒng)”的圓心C做周期相同的圓周運動，從而使日、地、航天器三者在太空的相對位置保持不變．不考慮航天器對日地雙星系統(tǒng)的影響，不考慮其它天體對該系統(tǒng)的影響．已知：太陽質量為M地球質量為m太陽與地球球心距離為d則下列說法正確的是（　�。�

• A． 位于拉格朗日點繞C穩(wěn)定運行的航天器，其向心加速度小于地球的向心加速度
• B． 日地雙星系統(tǒng)的周期為T=2π$\sqrt{\frac{eg2qwuk^{3}}{GMm}}$
• C． 圓心C太陽和地球的連線上，距離太陽和地球球心的距離之比等于太陽和地球的質量之比
• D． 拉格朗日點距地球球心的距離x滿足關系式G$\frac{M}{{（d+x）}^{2}}$+G$\frac{m}{{x}^{2}}$=G$\frac{M+m}{lkocim7^{3}}$（X+$\frac{dM}{M+m}$）

Answer 1

分析 位于拉格朗日點的繞C點穩(wěn)定運行的航天器的周期與地球的周期相同，根據(jù)$a=（\frac{2π}{T}）^{2}r$可知，離C點越遠加速度越大．
根據(jù)萬有引力提供向心力，對地球：$G\frac{Mm}{pcn24rx^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{1}$，對太陽：$G\frac{Mm}{m5vdmxk^{2}}=M\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{2}$，由此二式可以解得周期T和地球距離C點的距離．
航天器在太陽和地球引力的共同作用下可以繞“日地雙星系統(tǒng)”的圓心C點做周期相同的圓周運動，設航天器的質量為m₀，根據(jù)合力提供向心力得$G\frac{M{m}_{0}}{（d+x）^{2}}+G\frac{m{m}_{0}}{{x}^{2}}={m}_{0}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（x+\frac{dM}{M+m}）$，代入周期化簡即可．

解答 解：A、位于拉格朗日點的繞C點穩(wěn)定運行的航天器的周期與地球的周期相同，根據(jù)$a=（\frac{2π}{T}）^{2}r$可知，離C點越遠加速度越大，故A錯誤．
B、太陽和地球組成“日地雙星系統(tǒng)”，兩者繞共同的圓心C點（圖中未畫出）做周期相同的圓周運動．
根據(jù)萬有引力提供向心力，對地球：$G\frac{Mm}{9dbel9w^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{1}$
對太陽：$G\frac{Mm}{rhvth2a^{2}}=M\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{2}$
兩式相加$G\frac{M+m}{r77gujm^{2}}=\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（{r}_{1}+{r}_{2}）$
因為d=r₁+r₂
所以$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{yidr43e^{3}}{G（M+m）}}$
故B錯誤．
C、由$G\frac{Mm}{lfrkndx^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{1}$和$G\frac{Mm}{cgsiwnl^{2}}=M\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{2}$可得$\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}=\frac{m}{M}$，即圓心C點在太陽和地球的連線上，距離太陽和地球球心的距離之比等于太陽和地球的質量的反比，故C錯誤．
D、根據(jù)$\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}=\frac{m}{M}$和d=r₁+r₂可得，地球距離圓心C點距離為${r}_{1}=\frac{dM}{M+m}$
航天器在太陽和地球引力的共同作用下可以繞“日地雙星系統(tǒng)”的圓心C點做周期相同的圓周運動，設航天器的質量為m₀
則$G\frac{M{m}_{0}}{（d+x）^{2}}+G\frac{m{m}_{0}}{{x}^{2}}={m}_{0}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（x+\frac{dM}{M+m}）$
即$G\frac{M}{{（d+x）}^{2}}+G\frac{m}{{x}^{2}}=G\frac{M+m}{4qomabz^{3}}（x+\frac{dM}{M+m}）$
故D正確．
故選：D

點評 本題考查萬有引力的應用，題目較為新穎，在解題時要注意分析向心力的來源及題目中隱含的條件．