Question

4．如圖所示，在坐標(biāo)xoy平面第一象限內(nèi)有一半徑為R磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的圓形有界勻強(qiáng)磁場，圓心坐標(biāo)為（R，R），方向垂直平面向里．第四象限內(nèi)有一對帶電平行板AB，兩板長度均為2R，間距也為2R，且A板與y軸重合，B板放置于x=2R處與x軸垂直，圓形磁場與y軸交點(diǎn)處現(xiàn)有一發(fā)射源，其向第一象限各個(gè)方向連續(xù)均勻發(fā)射速率相同的電子，已知電子質(zhì)量為m，電量為e，發(fā)射速率均為v=$\frac{eBR}{m}$，不計(jì)電子的重力及電子間相互作用力．
（1）證明：電子從圓形有界磁場射出后，速度方向均與y軸平行；
（2）試求AB板間電壓U_AB多大時(shí)，發(fā)射源發(fā)射的電子有一半打在板上（即此時(shí)兩板對電子收集率η為50%）
（3）試通過計(jì)算分析并畫出兩板對電子的收集率η與兩板間電壓U_AB的關(guān)系圖象．

Answer 1

分析 （1）先分析水平發(fā)射的電子的初射方向與y軸平行，再分析向下或向上偏轉(zhuǎn)任意角θ時(shí)出射速度方向與Y軸平行即可，證明速度與y軸平行可以先證明過出射點(diǎn)的半徑與x軸平行；
（2）發(fā)射源發(fā)射的電子有一半打在板上，即從圓形磁場圓心正下方出射的電子恰好打在A板的邊緣處，此時(shí)兩板對電子收集率η為50%；
（3）電子在兩板間做類平拋運(yùn)動，達(dá)到板電子被收集，板間的電場為勻強(qiáng)電場，由勻強(qiáng)電場電勢差與電場強(qiáng)度的關(guān)系及類平拋運(yùn)動規(guī)律列方程求解，并由數(shù)學(xué)關(guān)系作出圖象

解答 解：（1）洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：evB=$\frac{{mv}^{2}}{r}$…①
而v=$\frac{eBR}{m}$…②
聯(lián)立解得：r=R…③
由題意得，沿著x軸正方向射出的電子，由左手定則判斷出電子將向下偏轉(zhuǎn)，其軌道的圓心位于坐標(biāo)原點(diǎn)，出射位置在圓形磁場圓心正下方，沿著y軸的負(fù)方向．
當(dāng)入射方向以水平方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，向下偏轉(zhuǎn)θ角度，則相應(yīng)的圓周運(yùn)動的軌跡向下偏轉(zhuǎn)，通過入射點(diǎn)與軌道圓心的半徑與y軸的夾角為θ，同時(shí)，連接入射點(diǎn)、磁場中心、出射點(diǎn)、圓形軌跡中心的四邊形為菱形，故通過出射點(diǎn)的半徑沿著水平方向，故出射速度方向?yàn)樨Q直方向，即平行于y軸．
命題得證．
（2）發(fā)射源發(fā)射的電子有一半打在板上，即從圓形磁場圓心正下方出射的電子恰好打在A板的邊緣處，板間的勻強(qiáng)電場強(qiáng)度為：
E=$\frac{{U}_{AB}}{2R}$…④
電子的加速度為：a=$\frac{Ee}{m}$…⑤
電子的運(yùn)動時(shí)間為：
t=$\frac{2R}{v}$…⑥
收集到極板的電子沿著電場線方向的距離為：R=$\frac{1}{2}$at²…⑦
聯(lián)立④⑤⑥⑦得，U_AB=$\frac{{{eB}^{2}R}^{2}}{m}$…⑧
（3）電子在極板間的運(yùn)動的距離為：s=$\frac{1}{2}$at²…⑨
收集率η=$\frac{s}{2R}$×100%…（10）
聯(lián)立④⑤⑥⑨（10）得：η=$\frac{m}{2{{eB}^{2}R}^{2}}$U_AB
圖象為：
答：（1）速度方向均與y軸平行；
（2）試求AB板間電壓U_AB為$\frac{{{eB}^{2}R}^{2}}{m}$時(shí)，發(fā)射源發(fā)射的電子有一半打在板上（即此時(shí)兩板對電子收集率η為50%）
（3）兩板對電子的收集率η與兩板間電壓U_AB的關(guān)系圖象為

點(diǎn)評 帶電粒子載運(yùn)強(qiáng)磁場中的圓周運(yùn)動問題關(guān)鍵是找到圓心和半徑，利用洛倫茲力提供向心力求解，本題中求證出射方向與y軸平行要充分利用速度與半徑的垂直關(guān)系，先求解半徑的方向是關(guān)鍵，這種以退為進(jìn)的策略很重要，此外帶電粒子的類平拋運(yùn)動也是常見的考查內(nèi)容，要加強(qiáng)聯(lián)系．