Question

如圖所示，一質(zhì)量M＝1.0 kg的砂擺，用輕繩懸于天花板上O點(diǎn)。另有一玩具槍能連續(xù)發(fā)射質(zhì)量m＝0.01 kg、速度v＝4.0 m/s的小鋼珠。現(xiàn)將砂擺拉離平衡位置，由高h＝0.20 m處無初速度釋放，恰在砂擺向右擺至最低點(diǎn)時(shí)，玩具槍發(fā)射的第一顆小鋼珠水平向左射入砂擺，二者在極短時(shí)間內(nèi)達(dá)到共同速度。不計(jì)空氣阻力，取g＝10 m/s²。

(1)求第一顆小鋼珠射入砂擺前的瞬間，砂擺的速度大小v₀；

(2)求第一顆小鋼珠射入砂擺后的瞬間，砂擺的速度大小v₁；

(3)第一顆小鋼珠射入后，每當(dāng)砂擺向左運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，都有一顆同樣的小鋼珠水平向左射入砂擺，并留在砂擺中。當(dāng)?shù)?i>n顆小鋼珠射入后，砂擺能達(dá)到初始釋放的高度h，求n。

Answer 1

解析：(1)砂擺從釋放到最低點(diǎn)，由動(dòng)能定理得

Mgh＝Mv

解得，v₀＝＝2.0 m/s。

(2)小鋼珠打入砂擺過程，由動(dòng)量守恒定律得，

Mv₀－mv＝(M＋m)v₁

解得，v₁＝≈1.94 m/s。

(3)第2顆小鋼珠打入過程，由動(dòng)量守恒定律得，

(M＋m)v₁＋mv＝(M＋2m)v₂

第3顆小鋼珠打入過程，同理(M＋2m)v₂＋mv＝(M＋3m)v₃…

第n顆小鋼珠打入過程，同理

[M＋(n－1)m]v_n－1＋mv＝(M＋nm)v_n

聯(lián)立各式得，(M＋m)v₁＋(n－1)mv＝(M＋nm)v_n

解得，v_n＝

當(dāng)?shù)?i>n顆小鋼珠射入后，砂擺要能達(dá)到初始釋放的位置，

砂擺速度滿足：v_n≥v₀

解得，n≥＝4

所以，當(dāng)?shù)?顆小鋼珠射入砂擺后，砂擺能達(dá)到初始釋放的高度。

答案：(1)2.0 m/s　(2)1.94 m/s　(3)4