Question

7．如圖所示，軌道倪a、b、c在同一豎直平面內(nèi)，其中a是末端水平（可看做與D重合）的光滑圓弧軌道，b是半徑為r=2m的光滑半圓形軌道且直徑DF沿豎直方向，水平軌道c上靜止放置著相距l(xiāng)=1.0m的物塊B和C，B位于F處，現(xiàn)將滑塊A從軌道a以上距D點(diǎn)高為H的位置由靜止釋放，滑塊A經(jīng)D處水平進(jìn)入軌道b后能沿軌道（內(nèi)軌）運(yùn)動(dòng)，到達(dá)F處與物塊B正碰，碰后A、B粘在一起向右滑動(dòng)，并再與C發(fā)生正碰．已知A、B、C質(zhì)量分別為m、m、km，均可看做質(zhì)點(diǎn)，物塊與軌道C的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.45．（設(shè)碰撞時(shí)間很短，g取10m/s²）
（1）求H的最小值和H取最小值時(shí)，AB整體與C碰撞前瞬間的速度；
（2）若在滿足（1）的條件下，碰后瞬間C的速度=2.0m/s，請(qǐng)根據(jù)AB整體與C的碰撞過(guò)程分析k的取值，并討論與C碰撞后AB的可能運(yùn)動(dòng)方向．

Answer 1

分析 （1）要使滑塊A能沿豎直平面內(nèi)光滑半圓軌道b內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)，在D點(diǎn)應(yīng)滿足：mg≤$\frac{m{v}_{D}^{2}}{r}$，結(jié)合滑塊A沿a軌道下滑過(guò)程中機(jī)械能守恒列式求解H的最小值．AB碰撞過(guò)程，由動(dòng)量守恒定律求得碰后共同速度，再由動(dòng)能定理求得AB整體與C碰撞前瞬間的速度；
（2）分AB整體與C發(fā)生非彈性碰撞和彈性碰撞，由動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律結(jié)合求k的值．

解答 解：（1）滑塊A從軌道a下滑到達(dá)D點(diǎn)的過(guò)程中，由機(jī)械能守恒定律得：
   mgH=$\frac{1}{2}$mv_D²，
要使滑塊A能沿豎直平面內(nèi)光滑半圓軌道b內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)，在D點(diǎn)應(yīng)滿足：
  mg≤$\frac{m{v}_{D}^{2}}{r}$，
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得 H≥1m
所以H的最小值為1m．
滑塊A從a軌道上H=1m處下滑到達(dá)F點(diǎn)的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得
   mg（H+2r）=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
可得，滑塊經(jīng)過(guò)F點(diǎn)的速度 v₀=10m/s
A、B碰撞過(guò)程，取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得
   mv₀=2mv₁．
設(shè)AB整體與C碰撞前瞬間的速度為v₂．由動(dòng)能定理得
-μ•2mgl=$\frac{1}{2}•2m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}•2m{v}_{1}^{2}$
聯(lián)立以上各式解得 v₂=4m/s
（2）若AB整體與C發(fā)生非彈性碰撞，由動(dòng)量守恒定律得
   2mv₂=（2m+km）v
代入數(shù)據(jù)解得 k=2
此時(shí)AB整體的運(yùn)動(dòng)方向與C相同．
若AB整體與C發(fā)生彈性碰撞，由動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律得
   2mv₂=2mv₃+kmv
   $\frac{1}{2}$×2mv₂²=$\frac{1}{2}$×2mv₃²+$\frac{1}{2}$kmv²
解得 v₃=$\frac{2-k}{2+k}$v₂，v=$\frac{4}{4+k}$v₂
代入數(shù)據(jù)解得 k=6
此時(shí)AB整體的運(yùn)動(dòng)方向與C相反．
若AB整體與C發(fā)生碰撞后AB整體速度為0，由動(dòng)量守恒定律得
   2mv₂=kmv
解得 k=4
綜上所述，當(dāng)2≤k＜4時(shí)，AB整體的運(yùn)動(dòng)方向與C相同．
當(dāng)k=4時(shí)，AB整體的速度為0．
當(dāng)4＜k≤6時(shí)，AB整體的運(yùn)動(dòng)方向與C相反．
答：
（1）H的最小值是1m，H取最小值時(shí)，AB整體與C碰撞前瞬間的速度是$\sqrt{5}$m/s．
（2）當(dāng)2≤k＜4時(shí)，AB整體的運(yùn)動(dòng)方向與C相同．當(dāng)k=4時(shí)，AB整體的速度為0．當(dāng)4＜k≤6時(shí)，AB整體的運(yùn)動(dòng)方向與C相反．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道力學(xué)綜合題，分析清楚小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程、應(yīng)用機(jī)械能守恒定律、動(dòng)能定理、牛頓第二定律即可正確解題；解題時(shí)要注意小球做圓周運(yùn)動(dòng)臨界條件的應(yīng)用．