Question

12．如圖，Q為一個(gè)原來靜止在光滑水平面上的物體，其DB段為一半徑為R的光滑圓弧軌道，AD段為一長度為L=R的粗糙水平軌道，二者相切于D點(diǎn)，D在圓心O的正下方，整個(gè)軌道位于同一豎直平面內(nèi)．物塊P的質(zhì)量為m（可視為質(zhì)點(diǎn)），P與AD間的動摩擦因數(shù)μ=0.1，物體Q的質(zhì)量為M=2m，重力加速度為g．
（1）若Q固定，P以速度v₀從A點(diǎn)滑上水平軌道，沖至C點(diǎn)后返回A點(diǎn)時(shí)恰好靜止，求v₀大�。�
（2）若Q固定，P仍以速度v₀從A點(diǎn)滑上水平軌道，求P第一次越過D點(diǎn)時(shí)對D點(diǎn)的壓力大�。�
（3）若Q不固定，P仍以速度v₀從A點(diǎn)滑上水平軌道，求P在光滑圓弧軌道上所能達(dá)到的最大高度h．

Answer 1

分析 （1、2）P從A到C又返回A的過程中，由動能定理求得v₀的大小，由動能定理和牛頓定律求解對Q的壓力大�。�
（3）當(dāng)PQ具有共同速度v時(shí)，P達(dá)到的最大高度h，由動量守恒定律和功能關(guān)系求解．

解答 解：（1）P從A到C又返回A的過程中，由動能定理有
-μmg•2L=0-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$           ①
將L=R代入①解得
 v₀=$\sqrt{\frac{2gR}{5}}$                           ②
（2）若P在D點(diǎn)的速度為v_D，Q對P的支持力為F_D，由動能定理和牛頓定律有
-μmgL=$\frac{1}{2}$m${v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$              ③
根據(jù)牛頓第二定律得
F_D-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$                    ④
聯(lián)立解得
  F_D=1.2mg                    ⑤
由牛頓第三定律可知，P對Q的壓力大小也為1.2mg．
（3）當(dāng)PQ具有共同速度v時(shí)，P達(dá)到的最大高度h，由動量守恒定律有
mv₀=（m+M）v                       ⑥
由功能關(guān)系有$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$=μmgL+$\frac{1}{2}$（m+M）v²+mgh  ⑦
聯(lián)立解得
h=$\frac{1}{30}$R
 答：（1）若Q固定，P以速度v₀從A點(diǎn)滑上水平軌道，沖至C點(diǎn)后返回A點(diǎn)時(shí)恰好靜止，v₀大小是$\sqrt{\frac{2gR}{5}}$．
（2）若Q固定，P仍以速度v₀從A點(diǎn)滑上水平軌道，P第一次越過D點(diǎn)時(shí)對D點(diǎn)的壓力大小是1.2mg．
（3）若Q不固定，P仍以速度v₀從A點(diǎn)滑上水平軌道，P在光滑圓弧軌道上所能達(dá)到的最大高度是$\frac{1}{30}$R．

點(diǎn)評 本題主要考查了牛頓第二定律、動量守恒定律及動能定理的直接應(yīng)用，難度適中．