Question

4．如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為m，電荷量+q的帶電粒子（重力忽略不計(jì)），從靜止開始經(jīng)U₁電壓加速后，水平進(jìn)入兩平行金屬板間的偏轉(zhuǎn)電場中，金屬板長L，兩板間距d，粒子射出偏轉(zhuǎn)電場時(shí)的偏轉(zhuǎn)角θ=30°，并接著進(jìn)入一個(gè)方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場區(qū)域．求：
（1）兩金屬板間的電壓U₂的大��；
（2）若該勻強(qiáng)磁場的寬度為D，為使帶電粒子不會(huì)由磁場右邊射出，該勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B至少多大；
（3）試推導(dǎo)說明電性相同的不同帶電粒子由同一加速電場靜止加速再垂直進(jìn)入同一偏轉(zhuǎn)電場偏轉(zhuǎn)時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡相同．

Answer 1

分析 （1）由動(dòng)能定理求得粒子離開加速電場時(shí)的速度，再對(duì)粒子在偏轉(zhuǎn)電場中的類平拋運(yùn)動(dòng)分水平、豎直討論其速度、位移，進(jìn)而求解；
（2）由粒子進(jìn)入磁場的速度方向得到速度大小及半徑與邊界寬度的關(guān)系，再通過牛頓第二定律得到半徑的表達(dá)式，進(jìn)而聯(lián)立求解磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）分析帶電粒子在偏轉(zhuǎn)電場中的類平拋運(yùn)動(dòng)軌跡，得到軌跡方程即可．

解答 解：（1）帶電粒子在加速電場中只受電場力，設(shè)帶電粒子離開加速電場時(shí)的速度v₁；則由動(dòng)能定理可得：${qU}_{1}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$；
解得：${v}_{1}=\sqrt{\frac{2q{U}_{1}}{m}}$；
帶電粒子在偏轉(zhuǎn)電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，則在水平方向上有：L=v₁t；
在豎直方向上有：${v}_{y}={v}_{1}tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}{v}_{1}=\sqrt{\frac{2q{U}_{1}}{3m}}$
且有：${v}_{y}=at=\frac{q{U}_{2}}{md}t=\frac{q{U}_{2}L}{md{v}_{1}}$；
解得：${U}_{2}=\frac{m{v}_{1}{v}_{y}d}{qL}=\frac{m×\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{2q{U}_{1}}{m}×d}{qL}$=$\frac{2\sqrt{3}{U}_{1}d}{3L}$；
（2）粒子進(jìn)入磁場中的速度為：${v}_{2}=\frac{{v}_{1}}{cos30°}=\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{1}=\sqrt{\frac{8q{U}_{1}}{3m}}$；
那么粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力做向心力，則有：$B{v}_{2}q=\frac{m{{v}_{2}}^{2}}{R}$
解得：$B=\frac{m{v}_{2}}{qR}$；
由左手定則可知，粒子剛進(jìn)入磁場時(shí)向上偏轉(zhuǎn)，那么，為使帶電粒子不會(huì)由磁場右邊射出，則有：
$D≥Rsin30°+R=\frac{3}{2}R$；
解得：$B=\frac{m{v}_{2}}{qR}≥\frac{m{v}_{2}}{q•\frac{2}{3}D}=\frac{1}{D}\sqrt{\frac{6m{U}_{1}}{q}}$
即該勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B至少為$\frac{1}{D}\sqrt{\frac{6m{U}_{1}}{q}}$；
（3）由（1）可得粒子經(jīng)過加速電場，進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場時(shí)的速度為：
${v}_{1}=\sqrt{\frac{2q{U}_{1}}{m}}$；
那么粒子在偏轉(zhuǎn)電場中，任一時(shí)刻t的水平位移為：x=v₁t
豎直位移為：$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}×\frac{q{U}_{2}}{md}×{t}^{2}$=$\frac{q{U}_{2}}{2md{{v}_{1}}^{2}}{x}^{2}$=$\frac{{U}_{2}}{4d{U}_{1}}{x}^{2}$；
由上式可知，粒子的軌跡方程與粒子的比荷無關(guān)，即不同粒子的軌跡方程相同．
答：（1）兩金屬板間的電壓U₂的大小為$\frac{2\sqrt{3}{U}_{1}d}{3L}$；
（2）若該勻強(qiáng)磁場的寬度為D，為使帶電粒子不會(huì)由磁場右邊射出，該勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B至少為$\frac{1}{D}\sqrt{\frac{6m{U}_{1}}{q}}$．
（3）推導(dǎo)如上

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在偏轉(zhuǎn)電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，一般，若未給出離開電場時(shí)的速度方向，我們要先討論出射位置（是否打在極板上，是否剛好從極板邊界射出），然后，再求取速度大小及方向．