Question

2．如圖所示，電量均為+q的兩個點(diǎn)電荷相距2r，O點(diǎn)是其連線的中點(diǎn)，P點(diǎn)是其中垂線上的電場強(qiáng)度最大的點(diǎn)．已知靜電力常量為k，關(guān)于P點(diǎn)的位置和P點(diǎn)的電場強(qiáng)度，下列描述正確的是（　�。�

• A． OP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$r，E_p=$\frac{3kq}{4{r}^{2}}$
• B． OP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，E_p=$\frac{4\sqrt{3}kq}{9{r}^{2}}$
• C． OP=r，E_p=$\frac{\sqrt{2}kq}{2{r}^{2}}$
• D． OP=$\sqrt{3}$r，E_p=$\frac{\sqrt{3}kq}{4{r}^{2}}$

Answer 1

分析 設(shè)PO=x，根據(jù)點(diǎn)電荷場強(qiáng)公式E=k$\frac{Q}{{r}^{2}}$和電場的疊加原理得到P點(diǎn)的場強(qiáng)E_p與x的關(guān)系式，再由數(shù)學(xué)知識求解．

解答 解：設(shè)PO=x，則兩個點(diǎn)電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)大小均為 E=k$\frac{q}{{x}^{2}+{r}^{2}}$，設(shè)E的方向與x軸正方向的夾角為α．則P點(diǎn)的電場強(qiáng)度為：
E_P=2Ecosα=2k$\frac{q}{{x}^{2}+{r}^{2}}$•$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+{r}^{2}}}$=$\frac{2kqx}{（{x}^{2}+{r}^{2}）^{\frac{3}{2}}}$
求導(dǎo)得：E_P′=$\frac{2kq（{x}^{2}+{r}^{2}）^{\frac{3}{2}}-2kqx•\frac{3}{2}•\sqrt{{x}^{2}+{r}^{2}}•（2x）}{（{x}^{2}+{r}^{2}）^{3}}$
當(dāng)E_P′=0時(shí)，E_P最大，由上式解得：x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，E_p=$\frac{4\sqrt{3}kq}{9{r}^{2}}$
故選：B

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵要列出E_p與x的關(guān)系式，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識求解極值，要扎實(shí)的數(shù)學(xué)基本功，并能熟練運(yùn)用．