Question

8．如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為m，電荷量為q的正離子，在D處沿圖示方向以一定的速度射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，此磁場(chǎng)方向是垂直紙面向里．結(jié)果離子正好從距A點(diǎn)為d的小孔C沿垂直于電場(chǎng)方向進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)，此電場(chǎng)方向與AC平行且向上，最后離子打在G處，而G處距A點(diǎn)4d（AG⊥AC）．不計(jì)離子重力，離子運(yùn)動(dòng)軌跡在紙面內(nèi)．求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的大小；
（2）離子從D處運(yùn)動(dòng)到G處所需時(shí)間為多少；
（3）離子到達(dá)G處時(shí)的速度大小．

Answer 1

分析 （1）畫出離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)求出離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r，從而可求得離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度大�。畮щ娏Ｗ哟怪边M(jìn)入電場(chǎng)中作類平拋運(yùn)動(dòng)，將其運(yùn)動(dòng)分解為水平和豎直兩個(gè)方向，由牛頓第二定律和分位移規(guī)律求解．
（2）求出磁場(chǎng)中軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角，從而求出帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．由上題得到粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而求出總時(shí)間．
（3）根據(jù)動(dòng)能定理求解離子到達(dá)G處時(shí)的速度大小．

解答 解：（1）正離子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，
離子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)軌跡半徑為r，由幾何知識(shí)可得：r+rcos 60°=d，
解得：r=$\frac{2}{3}$d
設(shè)離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度為v₀，由牛頓第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$
得 v₀=$\frac{qBr}{m}$=$\frac{2qBd}{3m}$
離子進(jìn)入電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，則有：
d=$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}{t}^{2}$
4d=v₀t
聯(lián)立解得：E=$\frac{q{B}^{2}d}{18m}$
（2）離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為：T=$\frac{2πr}{{v}_{0}}$=$\frac{2πm}{qB}$
根據(jù)軌跡得：離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₁=$\frac{120°}{360°}$T=$\frac{2πm}{3qB}$
離子從C運(yùn)動(dòng)到G做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所需的時(shí)間為：t₂=$\frac{4d}{{v}_{0}}$=$\frac{6m}{qB}$
故離子從D→C→G的總時(shí)間為：t=t₁+t₂=$\frac{（2π+12）m}{3qB}$．　
（3）對(duì)離子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)過程，根據(jù)動(dòng)能定理得：
qE•d=$\frac{1}{2}m{v}_{G}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv₀²　
解得：v_G=$\frac{\sqrt{5}qBd}{3m}$
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的大小為$\frac{q{B}^{2}d}{18m}$；
（2）離子從D處運(yùn)動(dòng)到G處所需時(shí)間為$\frac{（2π+12）m}{3qB}$；
（3）離子到達(dá)G處時(shí)的速度大小為$\frac{\sqrt{5}qBd}{3m}$．

點(diǎn)評(píng) 本題離子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題，離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)畫軌跡是解題的關(guān)鍵，在電場(chǎng)中運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解進(jìn)行研究．