Question

5．一輕繩通過無摩擦的定滑輪與固定在水平地面上傾角為30°的光滑斜面上的物體m₁=4m連接，另一端和套在固定在地面上的豎直光滑桿上的物體m₂=m連接．已知定滑輪到桿的距離為$\sqrt{3}$L（AB水平連線長），物體m₂由靜止從AB連線為水平的位置開始下滑．不計滑輪、物體的大小，重力加速度為g．試求：
（1）m₂在下滑過程中的最大速度．
（2）m₂沿豎直桿下滑到的最大距離時機械能（取B點所在的水平面為參考平面）．

Answer 1

分析 （1）以兩個物體組成的系統(tǒng)為研究對象，只有重力對系統(tǒng)做功，其機械能守恒．當m₁和m₂受力恰好平衡時，速度最大，由平衡條件和機械能守恒定律求解最大速度．
（2）當兩個物體的速度到達零時，m₂下滑的距離最大，再由機械能守恒定律求解最大距離．

解答 解：（1）如圖，在下滑過程中當m₂處于平衡狀態(tài)時速度最大，設最大速度為v₂，此時m₁的速度設為v₁．
根據(jù)力平衡條件可得到圖中的θ=30°
則m₂下降的距離為h₂=L          ①
m₂上升的高度為h₁=（2-$\sqrt{3}$）Lsin30° ②
根據(jù)機械能守恒定律得
  m₂gh₂-m₁gh₁=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}$+$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$   ③
根據(jù)運動的合成與分解可得 v₁=v₂cos60°，即 v₂=2v₁ ④
解上述各式得最大速度v₂=$\sqrt{（2\sqrt{3}-3）gL}$ ⑤
（2）設m₂下降的最大距離為H₂，
則m₁上升是距離為H₁=（$\sqrt{{H}_{2}^{2}+（\sqrt{3}L）^{2}}$-$\sqrt{3}$L）sin30°  ⑥
根據(jù)機械能守恒定律得
 m₂gH₂=m₁gH₁                       ⑦
m₂下滑到最大處的機械能為 E=-m₂gH₂     ⑧
解⑥⑦⑧得 E=-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$mgL  ⑨
答：
（1）m₂在下滑過程中的最大速度是$\sqrt{（2\sqrt{3}-3）gL}$．
（2）m₂沿豎直桿下滑到的最大距離時機械能是-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$mgL．

點評 本題是繩系的系統(tǒng)機械能守恒問題，平衡只是其中的一個狀態(tài)，由平衡條件和機械能守恒定律及幾何知識結(jié)合求解．