Question

14．1957年第一顆人造衛(wèi)星送上天，開辟了人類宇航的新時代．近五十年來，人類不僅發(fā)射了人造地球衛(wèi)星，還向宇宙空間發(fā)射了多個空間探測器．空間探測器要飛向火星等其他行星，甚至飛出太陽系，首先要克服地球?qū)λ�的引力的作用．理論研究表明，物體在地球附近都受到地球?qū)λ�的萬有引力的作用，具有引力勢能，設(shè)物體在距地球無限遠處的引力勢能為零，則引力勢能可以表示為E=-G$\frac{Mm}{r}$，其中G是萬有引力常量，M是地球的質(zhì)量，m是物體的質(zhì)量，r是物體距地心的距離．已知：現(xiàn)有一個空間探測器隨空間站一起繞地球做圓周運動，運行周期為T，已知探測器的質(zhì)量為m，地球半徑為R，地面附近的重力加速度為g．求：
（1）該空間探測器環(huán)繞地球運動的線速度；
（2）要使這個空間探測器從空間站出發(fā)，脫離地球的引力作用，至少要對它做多少功．

Answer 1

分析 空間探測器隨空間站一起繞地球做圓周運動，由地球的萬有引力充當向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式可求出空間站的軌道半徑和速度，即可得到空間探測器具有的機械能．空間站要脫離地球的引力，機械能最小值為E_∞=0，根據(jù)功能關(guān)系求功．

解答 解：（1）空間探測器繞地球作圓周運動，由$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$得空間站的軌道半徑為：r=$\root{3}{\frac{{GMT}^{2}}{4{π}^{2}}}$　　
隨空間站一起運動時，空間探測器的速度為：v=$\frac{2πr}{T}$=$\frac{2π}{T}\root{3}{\frac{{GMT}^{2}}{4{π}^{2}}}$=$\root{3}{\frac{2πGM}{T}}$
（2）空間探測器的動能為：$\frac{1}{2}{mv}^{2}$=$\frac{m}{2}\root{3}{（\frac{2πGM}{T}）^{2}}$．
隨空間站一起運動時，空間探測器具有的機械能為：
  E₁=-$G\frac{Mm}{r}$+$\frac{1}{2}{mv}^{2}$=$-\frac{GMm}{\root{3}{\frac{{GMT}^{2}}{4{π}^{2}}}}$+$\frac{m}{2}\root{3}{（\frac{2πGM}{T}）^{2}}$=-$\frac{m}{2}\root{3}{{（\frac{2πGM}{T}）}^{2}}$
空間站要脫離地球的引力，機械能最小值為E_∞=0，因此，對探測器做功為：
W=E_∞-E₁=$\frac{m}{2}\root{3}{{（\frac{2πGM}{T}）}^{2}}$　　　　　　
由地面附近的重力加速度g=G$\frac{M}{{R}^{2}}$ 得：W=$\frac{m}{2}\root{3}{{（\frac{2π{gR}^{2}}{T}）}^{2}}$　
答：（1）該空間探測器環(huán)繞地球運動的線速度為$\root{3}{\frac{2πGM}{T}}$．
（2）要使這個空間探測器從空間站出發(fā)，脫離地球的引力作用，至少要對它作$\frac{m}{2}\root{3}{{（\frac{2π{gR}^{2}}{T}）}^{2}}$的功．

點評 對于衛(wèi)星類型，要根據(jù)其運動模型，由萬有引力定律、圓周運動規(guī)律和功能關(guān)系求解．