Question

9．如圖所示，V形轉(zhuǎn)盤可繞豎直中心軸OO′轉(zhuǎn)動，V形轉(zhuǎn)盤的側(cè)面與豎直轉(zhuǎn)軸間的夾角均為α=53°，盤上放著質(zhì)量為1kg的物塊A，物塊A用長為1m的細(xì)線與固定在轉(zhuǎn)盤中心O處的力傳感器相連．物塊和傳感器的大小均可忽略不計，細(xì)線能承受的最大拉力為8N，A與轉(zhuǎn)盤間的動摩擦因數(shù)μ為1.5，且可認(rèn)為最大靜摩擦力等于滑動摩擦力．轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動時，細(xì)線一直伸直，當(dāng)轉(zhuǎn)盤以不同的角速度勻速轉(zhuǎn)動時，傳感器上就會顯示相應(yīng)的讀數(shù)F．
（1）當(dāng)物塊A隨轉(zhuǎn)盤做勻速轉(zhuǎn)動．且其所受的摩擦力為零時，轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的角速度ω₀=？（結(jié)果可以保留根式）
（2）將轉(zhuǎn)盤的角速度從（1）問中求得的值開始緩慢增大，直到增加至3ω₀，試通過計算寫出此過程中細(xì)線拉力隨角速度變化的函數(shù)關(guān)系式．（g取10m/s²）．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)物塊A隨轉(zhuǎn)盤做勻速轉(zhuǎn)動．且其所受的摩擦力為零時，此時繩處于松弛狀態(tài)，由支持力和重力的合力提供向心力，由豎直方向由平衡條件列式及水平方向根據(jù)牛頓第二定律列式即可求解；
（2）當(dāng)靜摩擦力沿內(nèi)壁向下時，繩仍處于松弛狀態(tài)，由豎直方向由平衡條件列式及水平方向根據(jù)牛頓第二定律列式即可求解角速度，此后，拉力隨ω的增大而變大，當(dāng)細(xì)線拉力剛達(dá)到最大時，求出最大角速度，進(jìn)而求出拉力．

解答 解：（1）對物塊A受力分析，由正交分解得：
F_Ncos53°=m${ω}_{0}^{2}$r
F_Nsin53°=mg
又 r=Lsin53°
由以上三式解得：ω₀=$\frac{5\sqrt{6}}{4}$ rad/s
（2）增大角速度，靜摩擦力方向沿內(nèi)壁向下時，有：
F_Nsin53°-fcos53°=mg
F_Ncos53°+fsin53°=mω²r
滑塊未滑動，仍有 r=Lsin53°
解得 F_N=mgsin53°+mω²Lsin53°cos53°=8+0.48ω²；
f=mω²Lsin²53°-mgcos53°=0.64ω²-6
由最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，得：f_max=μF_N
不論ω取何值，f≤f_max恒成立，物塊能始終保持相對靜止，故繩中的拉力一直為零．
答：（1）轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的角速度ω₀為$\frac{5\sqrt{6}}{4}$ rad/s．
（2）細(xì)線拉力一直為零．

點(diǎn)評 本題的關(guān)鍵是能對物塊進(jìn)行受力分析，根據(jù)豎直方向由平衡條件列式及水平方向牛頓第二定律列式，并能根據(jù)最大靜摩擦力的表達(dá)式分析．