Question

1．如圖所示，在xOy平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一點(diǎn)狀放射源，放射源可以向xOy平面內(nèi)的x軸上方各個(gè)方向發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子，粒子的初速度大小均為v₀，在0＜y＜d的區(qū)域內(nèi)有沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E=$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2qd}$，在d＜y＜2d的區(qū)域內(nèi)有垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，ef為電場(chǎng)和磁場(chǎng)的邊界線，足夠大的平面感光板ab垂直于xOy平面且平行于x軸放置在y=2d處，結(jié)果發(fā)現(xiàn)此時(shí)恰好無(wú)粒子打到感光板ab上．（不考慮粒子的重力及粒子間的相互作用）．求：
（1）粒子通過電場(chǎng)和磁場(chǎng)邊界ef時(shí)的速度大��；
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小；
（3）要使所有粒子均能打到感光板ab上，應(yīng)將ab板從圖中位置至少向下平移多大距離？并求此時(shí)感光板ab被粒子打中區(qū)域的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出α粒子剛進(jìn)人磁場(chǎng)時(shí)的速度．
（2）粒子沿x軸正方向射出的粒子進(jìn)入磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)的角度最大，若該粒子進(jìn)入磁場(chǎng)不能打在ab板上，則所有粒子均不能打在ab板上．根據(jù)帶電粒子在電場(chǎng)中類平拋運(yùn)動(dòng)，求出進(jìn)入磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角度，結(jié)合幾何關(guān)系得出軌道半徑，從而得出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大�。�
（3）沿x軸負(fù)方向射出的粒子若能打到ab板上，則所有粒子均能打到板上．其臨界情況就是此粒子軌跡恰好與ab板相切．根據(jù)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑大小得出磁場(chǎng)的寬度，從而確定出ab板移動(dòng)的位置，根據(jù)幾何關(guān)系求出ab板上被α粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）根據(jù)動(dòng)能定理：qEd=$\frac{1}{2}$mv_t²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：v_t=2v₀；
（2）根據(jù)上題結(jié)果可知v_t=2v₀，對(duì)于沿x軸正方向射出的粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)與x軸正方向夾角θ=$\frac{π}{3}$，
其在電場(chǎng)中沿x方向的位移：x₁=v₀t=v₀$\sqrt{\frac{2d}{\frac{qE}{m}}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$d，
易知若此粒子不能打到ab板上，則所有粒子均不能打到ab板，因此此粒子軌跡必與ab板相切，
可得其圓周運(yùn)動(dòng)的半徑：r=$\frac{2}{3}$d，
又根據(jù)洛倫茲力提供向心力，qv_tB=m$\frac{{v}_{t}^{2}}{r}$，
解得：B=$\frac{3m{v}_{0}}{qd}$；
（3）易知沿x軸負(fù)方向射出的粒子若能打到ab板上，則所有粒子均能打到板上．其臨界情況就是此粒子軌跡恰好與ab板相切．由圖可知此時(shí)磁場(chǎng)寬度為原來(lái)的$\frac{1}{3}$，即當(dāng)ab板位于：y=$\frac{4}{3}$d的位置時(shí)，恰好所有粒子均能打到板上，有：△d=2d-$\frac{4}{3}$d=$\frac{2}{3}$d；
ab板上被打中區(qū)域的長(zhǎng)度為：L=2x₁+r=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$d+$\frac{2}{3}$d；
答：（1）沿+x方向射出的a粒子剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度大小為2v₀；
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{3m{v}_{0}}{qd}$；
（3）要使所有粒子均能打到感光板ab上，應(yīng)將ab板從圖中位置至少向下平移$\frac{2}{3}$d，此時(shí)感光板ab被粒子打中區(qū)域的長(zhǎng)度為：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$d+$\frac{2}{3}$d．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵確定粒子運(yùn)動(dòng)的臨界情況，通過幾何關(guān)系解決，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)幾何能力要求較高．