Question

18．如圖所示，M是水平放置的半徑足夠大的圓盤，繞過其圓心的豎直軸OO′勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，規(guī)定經(jīng)過圓心O點(diǎn)且水平向右為x軸正方向．在O點(diǎn)正上方距盤面高為h=2.5m處有一個(gè)可間斷滴水的容器，從t=0時(shí)刻開始，容器沿水平軌道向x軸正方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)．已知t=0時(shí)刻滴下第一滴水，以后每當(dāng)前一滴水剛好落到盤面時(shí)再滴下一滴水．取g=10m/s²．（結(jié)果可用根式表示）
（1）求每一滴水離開容器后經(jīng)過多長時(shí)間滴落到盤面上？
（2）要使每一滴水在盤面上的落點(diǎn)都位于同一直線上，圓盤的角速度ω應(yīng)滿足的條件；
（3）當(dāng)圓盤的角速度為ω′=$\frac{2\sqrt{2}π}{3}$ad/s時(shí)，第二滴水與第三滴水在盤面上落點(diǎn)間的距離d=$\sqrt{97}$m，求容器的容器加速度a．

Answer 1

分析 （1）離開容器后，每一滴水在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，水滴運(yùn)動(dòng)的時(shí)間等于豎直方向運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，由高度決定；
（2）要使每一滴水在盤面上的落點(diǎn)都位于同一直線上，則圓盤在t秒內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧度為kπ，k為不為零的正整數(shù)；
（3）通過勻加速直線運(yùn)動(dòng)的公式求出兩個(gè)水滴在水平方向上的位移，再算出兩個(gè)位移之間的夾角，根據(jù)位移關(guān)系算出容器的加速度．

解答 解：（1）離開容器后，每一滴水在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，每一滴水滴落到盤面上所用時(shí)間為：
$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×2.5}{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$s
（2）要使每一滴水在盤面上的落點(diǎn)都位于同一直線，則圓盤在t秒內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧度為kπ，k為不為零的正整數(shù)．
則：ωt=kπ        
即：ω=$\sqrt{2}kπ$，其中k=1，2，3…
（3）第二滴水離開O點(diǎn)的距離為：${s_2}=\frac{1}{2}a{t^2}+（at）t$…①
第三滴水離開O點(diǎn)的距離為：${s}_{3}=\frac{1}{2}a{t}^{2}+（a•2t）t$…②
（上面①②兩式中：$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$s…③）
又：$△θ=ωt=\frac{3}{2}π\(zhòng)sqrt{\frac{g}{2h}}×\sqrt{\frac{2h}{g}}=\frac{3}{2}π$
即第二滴水和第三滴水分別滴落在圓盤上x軸方向及垂直x軸的方向上，得：s₂²+s₃²=d²…④
聯(lián)列①②③④可得：a=4m/s²．
答：（1）每一滴水離開容器后經(jīng)過$\frac{\sqrt{2}}{2}$s時(shí)間滴落到盤面上；
（2）要使每一滴水在盤面上的落點(diǎn)都位于同一直線上，圓盤的角速度ω應(yīng)滿足：ω=$\sqrt{2}kπ$，其中k=1，2，3…；
（3）當(dāng)圓盤的角速度為ω′=$\frac{2\sqrt{2}π}{3}$ad/s時(shí)，第二滴水與第三滴水在盤面上落點(diǎn)間的距離d=$\sqrt{97}$m，容器的容器加速度是4m/s²．

點(diǎn)評(píng) 該題涉及到運(yùn)動(dòng)的合成與分解，圓周運(yùn)動(dòng)，勻變速直線運(yùn)動(dòng)的相關(guān)規(guī)律，綜合性較強(qiáng)，難度較大在解答的過程中要細(xì)心．