Question

1．有一團半徑為R的均勻球狀物質，在距其中心2R處有一質量為m的小物體．該物質團中的每個質點都有萬有引力作用于小物體上，其總效果表現(xiàn)為物質團對小物體的引力．物質團中心與小物體的位置均固定，若物質團均勻地向四周膨脹，膨脹后的半徑為3R，此時物質團與小物體的引力的是膨脹前的（　�。�

• A． $\frac{8}{27}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． 1
• D． $\frac{27}{8}$

Answer 1

分析 1．球體與質點之間的萬有引力可以直接使用萬有引力定律代入數(shù)據(jù)求解；
2．對應均勻球體的內部的點，各個點受到的萬有引力等于以球心到該點的距離為半徑的內部球產(chǎn)生的萬有引力．由此求出物質膨脹后質點受到的萬有引力．

解答 解：根據(jù)萬有引力定律的使用條件可知，設物質團的質量為M，開始時物質團到質點的距離為2R，則二者之間的萬有引力大小為：
${F}_{1}=\frac{GMm}{（2R）^{2}}=\frac{GMm}{4{R}^{2}}$
設開始時物質團的密度為ρ₁，當物質團均勻地向四周膨脹到半徑為3R時的密度為ρ₂，由質量關系得：$M={ρ}_{1}•\frac{4}{3}π{R}^{3}={ρ}_{2}•\frac{4}{3}π{（3R）}^{3}$
可知：${ρ}_{2}=\frac{1}{27}{ρ}_{1}$
當物質團均勻地向四周膨脹到半徑為3R時，質點在位置團的內部，所以質點受到的物質團的萬有引力的大小等于以球心到該點的距離為半徑的內部球產(chǎn)生的萬有引力，即：${F}_{2}=\frac{G•{ρ}_{2}•\frac{4}{3}π（2R）^{3}m}{（2R）^{2}}$=$\frac{Gm}{4{R}^{2}}•\frac{1}{27}{ρ}_{1}•\frac{4}{3}π{（2R）}^{3}$=$\frac{8M}{27}•\frac{Gm}{4{R}^{2}}$=$\frac{8}{27}{F}_{1}$
故選：A

點評 該題是對萬有引力定律的公式使用簡單的微元法的應用，注意選取一個質量元，要對其萬有引力分解，然后求和．在解答的過程中要搞清楚引力產(chǎn)生的原因，萬有引力公式的適用條件一定要清晰即可．