Question

13．在光滑水平面上，有一質(zhì)量M₁=10kg的小車通過一根不可伸長的輕繩與另一質(zhì)量M₂=15kg的拖車相連接，一質(zhì)量M₃=5kg的物體放在拖車的平板上，物體與拖車平板間的動摩擦因數(shù)μ=0.2．開始時，拖車靜止，繩未被拉緊，如圖所示，開始時小車以v₀=3m/s的速度勻速前進時，求物體在拖車平板上移動的距離s．（設平板足夠長，g取10m/s²）

Answer 1

分析 將小車、拖車和物體三個物體看成一系統(tǒng)，在水平方向上動量守恒，根據(jù)動量守恒定律求出三者一起運動的速度大�。�
輕繩從伸直到拉緊的時間極短，在此過程中，小車與拖車在水平方向上動量守恒，根據(jù)動量守恒求出小車和拖車的共同速度，然后物體在拖車上發(fā)生相對滑動，根據(jù)動能定理求出拖車和小車整體與物體的位移，從而求出它們的相對位移．

解答 解：選取向右為正方向，由小車、拖車和物體三者水平方向動量守恒：
m₁v₀=（m₁+m₂+m₃）u，
得三者一起運動的速度大小為：$u=\frac{{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}+{m}_{3}}{v}_{0}=\frac{20}{20+25+15}×3$=1m/s．
小車向前運動時，輕繩將逐漸伸直．因為輕繩從伸直到拉緊的時間極短，在這極短時間內(nèi)繩中產(chǎn)生的張力遠大于物體對拖車的摩擦力，可以認為僅是小車與拖車間發(fā)生了相互作用．對小車與拖車由水平方向動量守恒：
m₁v₀=（m₁+m₂）v₁₂，
得繩剛拉緊時兩者的共同速度為：
${v}_{12}=\frac{{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}{v}_{0}=\frac{20}{20+25}×3=\frac{4}{3}m/s$


此后，由于物體和拖車間形成了相對速度，拖車對物體產(chǎn)生摩擦力f（f=μm₃g），使物體向前（與v₁₂同向）作加速運動，物體對拖車的摩擦力f′（f′=f）使拖車（包括小車）作減速運動，直至物體和拖車（包括小車）以共同速度u運動．在這個過程中，設拖車（包括小車）對地面的位移為s₂，物體對地面的位移為s3，對拖車位移為d，如圖所示．根據(jù)動能定理，對拖車和小車：
$-f′{s}_{2}=\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）{u}^{2}-\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）{{v}_{12}}^{2}$
即：$μ{m}_{3}g{s}_{2}=\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）（{{v}_{12}}^{2}-{u}^{2}）$
對物體有：$f{s}_{3}=\frac{1}{2}{m}_{3}{u}^{2}$
即：$μ{m}_{3}g{s}_{3}=\frac{1}{2}{m}_{3}{u}^{2}$
由此解得拖車和物體的位移分別為：
${s}_{2}=\frac{（{m}_{1}+{m}_{2}）（{{v}_{12}}^{2}-{u}^{2}）}{2μ{m}_{3}g}$=$\frac{（20+25）（\frac{16}{9}-1）}{2×0.20×15×10}m=\frac{7}{12}m$．
${s}_{3}=\frac{{u}^{2}}{2μg}=\frac{1}{2×0.20×10}m=\frac{1}{4}m$．
所以，物體在拖車平板上移動的距離為：d=${s}_{2}-{s}_{3}=\frac{7}{12}-\frac{1}{4}m=\frac{1}{3}m≈0.33m$．
答：物體在拖車平板上移動的距離為0.33m．

點評 本題綜合運用了動量守恒定律、動能定理等知識點，綜合性強，關鍵要合理地選擇研究的系統(tǒng)，研究的過程，運用合適的定律進行求解．