Question

如圖所示，在xOy坐標(biāo)系中，第一象限存在一與xOy平面平行的勻強(qiáng)電場，在第二象限存在垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場．在y軸上的P點(diǎn)有一靜止的帶正電的粒子，某時(shí)刻，粒子在很短時(shí)間內(nèi)（可忽略不計(jì)）分裂成三個(gè)帶正電的粒子1、2和3，它們所帶的電荷量分別為q₁、q₂和q₃，質(zhì)量分別為m₁、m₂和m₃，且q₁：q₂：q₃=1：1：2，m₁+m₂=m₃．帶電粒子1和2沿x軸負(fù)方向進(jìn)人磁場區(qū)域，帶電粒子3沿x軸正方向進(jìn)入電場區(qū)域．經(jīng)過一段時(shí)間三個(gè)帶電粒子同時(shí)射出場區(qū)，其中粒子1、3射出場區(qū)的方向垂直于x軸，粒子2射出場區(qū)的方向與x軸負(fù)方向的夾角為60°．忽略重力和粒子間的相互作用．求：
（1）三個(gè)粒子的質(zhì)量之比；
（2）三個(gè)粒子進(jìn)入場區(qū)時(shí)的速度大小之比；
（3）三個(gè)粒子射出場區(qū)時(shí)在x軸上的位移大小之比．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由周期公式得出粒子1、2的周期關(guān)系，從而可算出兩者的質(zhì)量關(guān)系，由題意可求出三粒子的質(zhì)量之比；
（2）根據(jù)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由半徑公式可列出半徑與運(yùn)動(dòng)速度、電量及質(zhì)量的關(guān)系，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌跡的幾何關(guān)系可確定粒子1、2的速度關(guān)系．最后由動(dòng)量守恒從而求出三個(gè)粒子進(jìn)入場區(qū)時(shí)的速度大小之比；
（3）設(shè)三個(gè)粒子出去時(shí)與x軸的位移，由粒子做的運(yùn)動(dòng)軌跡可確定1、2粒子的位移與半徑的關(guān)系．再根據(jù)3粒子沿x軸方向做勻減速運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可算出其位移大小，最后確定三個(gè)粒子射出場區(qū)時(shí)在x軸上的位移大小之比．

解答：解：（1）設(shè)粒子1、2在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期分別為T₁和T₂．則有
T1=

2πr1

v1

=

2πm1

Bq1

，
T2=

2πr2

v2

=

2πm2

Bq2

由題意可知：

1

4

T1=

1

6

T2
所以

m1

m2

=

2

3

又因?yàn)閙₁+m₂=m₃
所以m₁：m₂：m₃=2：3：5
（2）設(shè)粒子1、2在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為r₁和r₂．則有
r1=

m1v1

Bq1

那么：v1=

r1Bq1

m1

r2=

m2v2

Bq2

  那么：v2=

r2Bq2

m2

由幾何關(guān)系可知：r₂=2r₁
所以

v1

v2

=

3

4

在粒子分裂的過程中，動(dòng)量守恒，則
m₃v₃-m₁v₁-m₂v₂=0
所以v₁：v₂：v₃=15：20：18
（3）三個(gè)粒子射出場區(qū)時(shí)在x軸上的位移分別為x₁、x₂和x₃．
由幾何關(guān)系可知：
x₁=r₁，
x2=

3

r1
粒子3在電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，沿x軸方向的分運(yùn)動(dòng)是：
初速度為v₃的勻減速運(yùn)動(dòng)，末速度為0．
設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，
則有：x3=

v3

2

?t=

v3

2

?

T1

4

=0.3π?

m1v1

Bq1

=0.3πr1
所以x1：x2：x3=1：

3

：0.3π
答：（1）三個(gè)粒子的質(zhì)量之比為2：3：5；
（2）三個(gè)粒子進(jìn)入場區(qū)時(shí)的速度大小之比為15：20：18；
（3）三個(gè)粒子射出場區(qū)時(shí)在x軸上的位移大小之比為1：

3

：0.3π．

點(diǎn)評：考查勻速圓周運(yùn)動(dòng)與類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，對于勻速圓周運(yùn)動(dòng)借助于周期與半徑公式，結(jié)合幾何知識來確定各量的關(guān)系．對類平拋運(yùn)動(dòng)，將其分解兩方向，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式與牛頓第二定律從而求解．同時(shí)還體現(xiàn)了動(dòng)量守恒定律．