Question

17．如圖甲所示，豎直平面內(nèi)的光滑軌道由傾斜直軌道AB和圓軌道BCD組成，AB和BCD相切于B點(diǎn)，OB與OC夾角為37°，CD連線是圓軌道豎直方向的直徑（C、D為圓軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)），可視為質(zhì)點(diǎn)的小滑塊從軌道AB上高H處的某點(diǎn)由靜止滑下，用力傳感器測(cè)出滑塊經(jīng)過(guò)圓軌道最低點(diǎn)C時(shí)對(duì)軌道的壓力為F，并得到如圖乙所示的壓力F與高度H的關(guān)系圖象，該圖線截距為2N，且過(guò)（0.5m，4N）點(diǎn)．取g=10m/s²．求：

（1）滑塊的質(zhì)量和圓軌道的半徑；
（2）若要求滑塊不脫離圓軌道，則靜止滑下的高度為多少；
（3）是否存在某個(gè)H值，使得滑塊經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)D飛出后落在圓心等高處的軌道上．若存在，請(qǐng)求出H值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)H=0時(shí)，由圖象截距可知F=mg
當(dāng)小物塊從D點(diǎn)靜止下滑，由圖象知，h=0.5m時(shí)，對(duì)軌道的壓力F₁=4N
mgh=$\frac{1}{2}$mv₁²  
F₁-mg=$m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
進(jìn)而求解軌道半徑；
（2）不脫離軌道分兩種情況：
①到圓心等高處速度為零
②能通過(guò)最高點(diǎn)，通過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件v_D=$\sqrt{gR}$；
（3）假設(shè)滑塊經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)D后平拋運(yùn)動(dòng)，將運(yùn)動(dòng)分解為水平和豎直方向運(yùn)動(dòng)求v_D，
滑塊經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)D后直接落到直軌道AB上與圓心等高的點(diǎn)過(guò)程用動(dòng)能定理求高度H．

解答 解：（1）當(dāng)H=0時(shí)，由圖象截距可知
F=mg=2N
m=0.2kg
當(dāng)小物塊從D點(diǎn)靜止下滑，由圖象知，h=0.5m，對(duì)軌道的壓力F₁=4N
mgh=$\frac{1}{2}$mv₁²  
 F₁-mg=$m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得R=1m．
（2）不脫離軌道分兩種情況：
①到圓心等高處速度為零
有能量守恒可知，滑塊從靜止開始下滑高度h₁≤R=1m
②通過(guò)最高點(diǎn)，通過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件v_D=$\sqrt{gR}$
設(shè)下落高度為H₀，
由動(dòng)能定理mg（H₀-2R）=$\frac{1}{2}$mv_D²
解得H₀=2.5m
則應(yīng)該滿足下落高度h₂≥2.5m．
（3）假設(shè)滑塊經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)D后能直接落到直軌道AB上與圓心等高的E點(diǎn)
OE=$\frac{R}{sin37°}$     
x=OE=v_Dt           
R=$\frac{1}{2}$gt²
解得：v_D=$\frac{5\sqrt{5}}{3}$m/s
而滑塊過(guò)D點(diǎn)的臨界速度v_DL=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10}$m/s
由于：v_D＞v_DL，所以存在一個(gè)H值，使得滑塊經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)D后能直接落到直軌道AB上與圓心等高的點(diǎn)
mg（H-2R）=$\frac{1}{2}$mv_DP²
解得：H=$\frac{97}{36}$m．
答：（1）滑塊的質(zhì)量和圓軌道的半徑為1m；
（2）若要求滑塊不脫離圓軌道，則靜止滑下的高度h₁≤1m或者h(yuǎn)₂≥2.5m；
（3）存在H值，H=$\frac{97}{36}$m．

點(diǎn)評(píng) 本題是動(dòng)能定理與向心力、平拋運(yùn)動(dòng)及幾何知識(shí)的綜合，關(guān)鍵要注意挖掘隱含的臨界條件，知道小球通過(guò)豎直平面圓軌道最高點(diǎn)時(shí)，重力恰好提供向心力，對(duì)于平拋運(yùn)動(dòng)，要結(jié)合幾何知識(shí)進(jìn)行求解