Question

17．如圖甲所示，豎直平面內(nèi)的光滑軌道由傾斜直軌道AB和圓軌道BCD組成，AB和BCD相切于B點，OB與OC夾角為37°，CD連線是圓軌道豎直方向的直徑（C、D為圓軌道的最低點和最高點），可視為質(zhì)點的小滑塊從軌道AB上高H處的某點由靜止滑下，用力傳感器測出滑塊經(jīng)過圓軌道最低點C時對軌道的壓力為F，并得到如圖乙所示的壓力F與高度H的關(guān)系圖象，該圖線截距為2N，且過（0.5m，4N）點．取g=10m/s²．求：

（1）滑塊的質(zhì)量和圓軌道的半徑；
（2）若要求滑塊不脫離圓軌道，則靜止滑下的高度為多少；
（3）是否存在某個H值，使得滑塊經(jīng)過最高點D飛出后落在圓心等高處的軌道上．若存在，請求出H值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）當H=0時，由圖象截距可知F=mg
當小物塊從D點靜止下滑，由圖象知，h=0.5m時，對軌道的壓力F₁=4N
mgh=$\frac{1}{2}$mv₁²  
F₁-mg=$m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
進而求解軌道半徑；
（2）不脫離軌道分兩種情況：
①到圓心等高處速度為零
②能通過最高點，通過最高點的臨界條件v_D=$\sqrt{gR}$；
（3）假設(shè)滑塊經(jīng)過最高點D后平拋運動，將運動分解為水平和豎直方向運動求v_D，
滑塊經(jīng)過最高點D后直接落到直軌道AB上與圓心等高的點過程用動能定理求高度H．

解答 解：（1）當H=0時，由圖象截距可知
F=mg=2N
m=0.2kg
當小物塊從D點靜止下滑，由圖象知，h=0.5m，對軌道的壓力F₁=4N
mgh=$\frac{1}{2}$mv₁²  
 F₁-mg=$m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得R=1m．
（2）不脫離軌道分兩種情況：
①到圓心等高處速度為零
有能量守恒可知，滑塊從靜止開始下滑高度h₁≤R=1m
②通過最高點，通過最高點的臨界條件v_D=$\sqrt{gR}$
設(shè)下落高度為H₀，
由動能定理mg（H₀-2R）=$\frac{1}{2}$mv_D²
解得H₀=2.5m
則應(yīng)該滿足下落高度h₂≥2.5m．
（3）假設(shè)滑塊經(jīng)過最高點D后能直接落到直軌道AB上與圓心等高的E點
OE=$\frac{R}{sin37°}$     
x=OE=v_Dt           
R=$\frac{1}{2}$gt²
解得：v_D=$\frac{5\sqrt{5}}{3}$m/s
而滑塊過D點的臨界速度v_DL=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10}$m/s
由于：v_D＞v_DL，所以存在一個H值，使得滑塊經(jīng)過最高點D后能直接落到直軌道AB上與圓心等高的點
mg（H-2R）=$\frac{1}{2}$mv_DP²
解得：H=$\frac{97}{36}$m．
答：（1）滑塊的質(zhì)量和圓軌道的半徑為1m；
（2）若要求滑塊不脫離圓軌道，則靜止滑下的高度h₁≤1m或者h₂≥2.5m；
（3）存在H值，H=$\frac{97}{36}$m．

點評 本題是動能定理與向心力、平拋運動及幾何知識的綜合，關(guān)鍵要注意挖掘隱含的臨界條件，知道小球通過豎直平面圓軌道最高點時，重力恰好提供向心力，對于平拋運動，要結(jié)合幾何知識進行求解