Question

12．太陽系的行星，按照離太陽的距離從近到遠，它們依次為水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星，其中兩顆行星可近似認為繞太陽做勻速圓周運動，第一顆行星和第二顆行星繞太陽的公轉周期分別是T₁和T₂，求第一顆行星和第二顆行星繞太陽運行的線速度大小之比．

Answer 1

分析 根據萬有引力提供向心力得出周期與軌道半徑的關系，以及線速度與軌道半徑的關系，通過周期之比求出軌道半徑之比，從而得出線速度之比．

解答 解：根據$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$=$mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，r=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，線速度v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
因為周期之比為T₁：T₂，則軌道半徑之比為$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}=\root{3}{\frac{{{T}_{1}}^{2}}{{{T}_{2}}^{2}}}$，
則線速度之比$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}=\root{3}{\frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}}$．
答：第一顆行星和第二顆行星繞太陽運行的線速度大小之比為$\root{3}{\frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}}$．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力這一重要理論，知道線速度、角速度、周期、加速度與軌道半徑的關系，并能靈活運用．