Question

7．小明站在水平地面上，手握不可伸長的、長度為L的輕繩一端，繩的另一端系有質(zhì)量為m的小球，甩動(dòng)手腕，使球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)．圓心為O點(diǎn)，O點(diǎn)正下方有一點(diǎn)A，OA距離為3L．
（1）如果小球恰好能通過最高點(diǎn)且此時(shí)輕繩被剪斷，則小球落地點(diǎn)到A點(diǎn)的水平距離為多少？
（2）以不同的力度甩動(dòng)手腕，使小球在最低點(diǎn)獲得大小不同的速度，當(dāng)小球每次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)B時(shí)，繩子被剪斷，小球水平飛出并打到A點(diǎn)右側(cè)豎直擋板上，擋板到A點(diǎn)的水平距離為2L，則當(dāng)小球從B點(diǎn)水平飛出的初速度為多大時(shí)，小球打到擋板上的速度最小？在這種情況下，繩子在剪斷前的瞬間受到小球的拉力為多大？
（3）在第（2）問中，小球以最小速度打到擋板上并反彈，碰撞后水平分速度反向，但大小不變，豎直分速度的大小和方向均不變，則小球落地時(shí)到A點(diǎn)的水平距離為多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出小球恰好通過最高點(diǎn)的速度，結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的高度求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，根據(jù)最高點(diǎn)的速度和時(shí)間求出平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移．
（2）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出小球打到擋板上的速度表達(dá)式，結(jié)合數(shù)學(xué)不等式求極值的方法求出小球打在擋板上速度最小時(shí)的初速度，結(jié)合牛頓第二定律求出拉力的大�。�
（3）根據(jù)高度，運(yùn)用位移時(shí)間公式求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，抓住水平方向上的速度大小不變，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出水平方向上的路程，從而得出小球落地點(diǎn)到A的水平距離．

解答 解：（1）小球恰好能通過最高點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得，$mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{L}$，
解得${v}_{1}=\sqrt{gL}$，
平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間$t=\sqrt{\frac{2×4L}{g}}=\sqrt{\frac{8L}{g}}$，
則小球落地點(diǎn)到A點(diǎn)的水平距離x=${v}_{1}t=\sqrt{gL}\sqrt{\frac{8L}{g}}=2\sqrt{2}L$．
（2）設(shè)小球從B點(diǎn)飛出時(shí)的速度為v₀，
則平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=$\frac{2L}{{v}_{0}}$，
打到擋板上的豎直分速度${v}_{y}=gt=\frac{2Lg}{{v}_{0}}$，
根據(jù)平行四邊形定則知，打到擋板上的速度v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+\frac{4{g}^{2}{L}^{2}}{{{v}_{0}}^{2}}}$．
當(dāng)${{v}_{0}}^{2}=\frac{4{g}^{2}{L}^{2}}{{{v}_{0}}^{2}}$時(shí)，速度最小，解得${v}_{0}=\sqrt{2gL}$．
根據(jù)牛頓第二定律得，$F-mg=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{L}$，
解得拉力F=$mg+m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{L}=3mg$．
（3）根據(jù)$2L=\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，$t=\sqrt{\frac{4L}{g}}$，
則水平方向上運(yùn)動(dòng)的路程s=${v}_{0}t=\sqrt{2gL}×\sqrt{\frac{4L}{g}}=2\sqrt{2}L$，
小球落地時(shí)到A點(diǎn)的水平距離x=s-2L=$（2\sqrt{2}-2）L$．
答：（1）小球落地點(diǎn)到A點(diǎn)的水平距離為$2\sqrt{2}L$；
（2）當(dāng)小球從B點(diǎn)水平飛出的初速度為$\sqrt{2gL}$時(shí)，小球打到擋板上的速度最小，在這種情況下，繩子在剪斷前的瞬間受到小球的拉力為3mg．
（3）小球落地時(shí)到A點(diǎn)的水平距離為$（2\sqrt{2}-2）L$．

點(diǎn)評 本題考查了平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的綜合運(yùn)用，知道圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源以及平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵，本題第二問對數(shù)學(xué)能力的要求較高，通過不等式求極值的方法求解．