Question

5．如圖，光滑水平面上有一質(zhì)量為M的平板車(chē)，其上表面是一段長(zhǎng)為L(zhǎng)的粗糙水平軌道，左側(cè)連一半徑為R的$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道．圓弧軌道與水平軌道在O′點(diǎn)相切．車(chē)右端豎直墻壁固定一個(gè)處于鎖定狀態(tài)的彈簧，質(zhì)量為m的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）處于車(chē)的右端緊靠彈簧放置，小物塊與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ，整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)將彈簧解除鎖定，小物塊在極短時(shí)間內(nèi)被彈出，恰能到達(dá)圓弧軌道的最高點(diǎn)A．之后又從A點(diǎn)滑下，已知M=4m，重力加速度為g，若小物塊最終不會(huì)滑離小車(chē)，求小物塊與車(chē)相對(duì)靜止時(shí)的速度及其與車(chē)右端點(diǎn)的距離x．

Answer 1

分析 解除鎖定以后，從小物塊滑上平板車(chē)，恰能到達(dá)圓弧軌道的最高點(diǎn)A．之后又從A點(diǎn)滑下，到二者相對(duì)靜止的過(guò)程中，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律與能量守恒定律求解．

解答 解：平板車(chē)和小物塊組成的系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，
設(shè)小物塊到達(dá)圓弧最高點(diǎn)A時(shí)，二者的共同速度，規(guī)定向左為正方向，由動(dòng)量守恒得：
mv₀=（M+m）v₁…①
由能量守恒得：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$（M+m）v₁²+μmg•L+mgR…②
解得：v₀=$\sqrt{\frac{5（μgL+gR）}{2}}$
平板車(chē)和小物塊組成的系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，到二者相對(duì)靜止的過(guò)程中，以向左為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
mv₀=（M+m）v′
v′=$\sqrt{\frac{μgL+gR}{10}}$，
由能量守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$（M+m）v′²+μmg•S
S=L+$\frac{R}{μ}$；
所以小物塊與車(chē)右端點(diǎn)的距離x=2L-S=L-$\frac{R}{μ}$；
答：小物塊與車(chē)相對(duì)靜止時(shí)的速度是$\sqrt{\frac{μgL+gR}{10}}$，與車(chē)右端點(diǎn)的距離是L-$\frac{R}{μ}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒和能量守恒的問(wèn)題，求解兩物體間的相對(duì)位移，往往根據(jù)能量守恒研究．