Question

1．如圖所示，在長為L的輕桿中點A和端點B各固定一質量為m的小球（可看做質點），桿可繞無摩擦的軸O轉動，使桿從水平位置無初速度釋放擺下，重力加速度為g．當桿轉到豎直位置時：
求：（1）A、B兩球的速度各是多大？
（2）OA段輕桿對A球及AB段輕桿對B球的拉力各是多大？
（3）該過程中輕桿對A、B兩球分別做了多少功？

Answer 1

分析 對A、B兩球組成的系統(tǒng)，在運動的過程中只有重力做功，系統(tǒng)機械能守恒，抓住A、B的角速度相等，根據(jù)A、B的速度關系，利用系統(tǒng)機械能守恒定律求出A、B兩球的速度，再根據(jù)動能定理分別求出輕桿對A、B兩球分別做的功．

解答 解：（1）設當桿轉到豎直位置時，A球和B球的速度分別為v_A和v_B．如果把輕桿、兩球組成的系統(tǒng)作為研究對象，系統(tǒng)機械能守恒．若取B的最低點為重力勢能參考平面，根據(jù)△E_減=△E_增
可得：mgL$+\frac{1}{2}$mgL=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{A}^{2}$+$\frac{1}{2}$mv${\;}_{B}^{2}$                   
又因A球與B球在各個時刻對應的角速度相同，故v_B=2v_A
由以上二式得：v_A=$\sqrt{\frac{3gL}{5}}$，v_B=$\sqrt{\frac{12gL}{5}}$．
（2）對B球：根據(jù)牛頓第二定律有：F₁-mg=$\frac{m{v}_{B}^{2}}{L}$
解得：F₁=$\frac{17}{5}$mg
對A球：F₂-F₁-mg=m$\frac{{v}_{{\;}_{A}^{2}}}{\frac{1}{2}L}$
解得：F₂=$\frac{28}{5}$mg
（3）根據(jù)動能定理，可解出桿對A、B做的功．
對A有：W_A+mg$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{A}^{2}$，
所以W_A=-0.2mgL．
對B有：W_B+mgL=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{B}^{2}$-0，
所以得：W_B=0.2mgL．
答：（1）A、B兩球的速度分別為：v_A=$\sqrt{\frac{3gL}{5}}$，v_B=$\sqrt{\frac{12gL}{5}}$．
（2）OA段輕桿對A球及AB段輕桿對B球的拉力各是$\frac{17}{5}$mg，$\frac{28}{5}$mg；
（3）該過程中輕桿對A、B兩球分別做了功為-0.2mgL，0.2mgL．

點評 解決本題的關鍵知道A、B兩球在運動的過程中，系統(tǒng)機械能守恒，因為桿子做功為變力做功，只能求出A、B的速度，根據(jù)動能定理求出桿子的做功