Question

13．如圖1所示，水平地面上方存在區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的上邊界ef水平，ef線離地面高為h=7.25m．邊長(zhǎng)L=l.0m，質(zhì)量m=0.5kg，電阻R=2.0Ω的正方形線框abcd從磁場(chǎng)上方某處自由釋放，線框穿過磁場(chǎng)掉在地面上．線框在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中始終處于豎直平面內(nèi)，且ab邊保持水平．以線框釋放的時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t的變化情況如圖2所示，已知線框恰能勻速進(jìn)入磁場(chǎng)，g取10m/s²．

求：（1）線框進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)勻速運(yùn)動(dòng)的速度v；
（2）t=1.2s時(shí)ab邊離地面的高度；
（3）線框從釋放到落地的整個(gè)過程中產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）線框進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)作勻速運(yùn)動(dòng)，受力平衡，由平衡條件可得出安培力，再由導(dǎo)體棒切割磁感線可得出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)及安培力表達(dá)式，聯(lián)立求得速度；
（2）分析線框的運(yùn)動(dòng)過程，分別根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)和勻速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律可求得線框自由下落時(shí)間和進(jìn)入磁場(chǎng)的時(shí)間，再結(jié)合其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解高度；
（3）由能量守恒關(guān)系可求得產(chǎn)生的焦耳熱．

解答 解：（1）因?yàn)榫�框進(jìn)入磁場(chǎng)的最初一段時(shí)間內(nèi)做勻速運(yùn)動(dòng)，所以線框abcd受力平衡，則有 mg=F_安       
ab邊進(jìn)入磁場(chǎng)切割磁感線，產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì) E=BLv       
形成的感應(yīng)電流 I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BLv}{R}$
線框受到的安培力 F_安=BIL                 
聯(lián)立得 mg=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$
可得 v=$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
代入數(shù)據(jù)解得 v=10m/s                         
（2）線框abcd進(jìn)入磁場(chǎng)前時(shí)，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)；進(jìn)磁場(chǎng)的過程中，做勻速直線運(yùn)動(dòng)；進(jìn)入磁場(chǎng)后到落地，仍做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為g=10m/s²．
進(jìn)磁場(chǎng)前線框的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t₁=$\frac{v}{g}$=$\frac{10}{10}$s=1s
進(jìn)磁場(chǎng)過程中勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t₂=$\frac{L}{v}$=$\frac{1}{10}$s=0.1s；      
則t=1.2s時(shí)線框完全在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，已勻加速運(yùn)動(dòng)了時(shí)間 t₃=t-t₁-t₂=0.1s，此過程下落的高度 h₁=vt₃+$\frac{1}{2}g{t}_{3}^{2}$=10×0.1+$\frac{1}{2}$×10×0.1²=1.05m
故t=1.2s時(shí)ab邊離地面的高度為 h₂=h-L-h₁=7.25m-lm-1.05m=5.2m
（3）設(shè)線框進(jìn)入磁場(chǎng)后勻加速運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為t₄．
則 h-L=vt₄+$\frac{1}{2}$gt₄²
解得：t₄=0.5s                          
因此ab邊由靜止開始運(yùn)動(dòng)到落地用的時(shí)間為t=t₁+t₂+t₄=1.6s         
線框勻速進(jìn)磁場(chǎng)的過程中產(chǎn)生的焦耳熱為 Q₁=mgL=0.5×10×1J=5J；
進(jìn)入磁場(chǎng)后的感生電動(dòng)勢(shì)為：
 E=$\frac{△B}{△t}$L²=$\frac{1.2-1.0}{1.4-1.2}$V=1V；                
由圖知線框產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)的時(shí)間為 t₅=0.2s
產(chǎn)生的熱量為 Q₂=$\frac{{E}^{2}}{R}{t}_{5}$=$\frac{{1}^{2}}{2}$×0.2J=0.1J；              
整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程產(chǎn)生的焦耳熱 Q=Q₁+Q₂=5+0.1=5.1J  
答：
（1）線框進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)勻速運(yùn)動(dòng)的速度v是10m/s；
（2t=1.2s時(shí)ab邊離地面的高度是5.2m；
（3）線框從釋放到落地的整個(gè)過程中產(chǎn)生的焦耳熱是5.1J．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是電磁感應(yīng)定律和和力學(xué)綜合的應(yīng)用問題，根據(jù)安培定律和電磁感應(yīng)定律，利用受力平衡條件即可計(jì)算出勻速運(yùn)動(dòng)的速度；綜合勻速和勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律計(jì)算出落地時(shí)間；根據(jù)功能關(guān)系可以計(jì)算出產(chǎn)生的焦耳熱．