Question

如圖所示，AB是傾角為θ的粗糙直軌道，BCD是光滑的圓弧軌道，AB恰好在B點(diǎn)與圓弧相切，圓弧的半徑為R。一個(gè)質(zhì)量為m的物體(可以看作質(zhì)點(diǎn))從直軌道上的P點(diǎn)由靜止釋放，結(jié)果它能在兩軌道間做往返運(yùn)動。已知P點(diǎn)與圓弧的圓心O等高，物體與軌道AB間的動摩擦因數(shù)為μ,求：

 (1)物體做往返運(yùn)動的整個(gè)過程中在AB軌道上通過的總路程；

(2)最終當(dāng)物體通過圓弧軌道最低點(diǎn)E時(shí)，對圓弧軌道的壓力；

(3)為使物體能順利到達(dá)圓弧軌道的最高點(diǎn)D,釋放點(diǎn)距B點(diǎn)的距離L′應(yīng)滿足什么條件。

Answer 1

【解析】(1)因?yàn)槟Σ亮κ冀K對物體做負(fù)功，所以物體最終在圓心角為2θ的圓弧軌道上往復(fù)運(yùn)動。

對整體過程由動能定理得：mgR·cosθ-μmgcosθ·s=0,所以總路程為s=

(4分)

(2)對B→E過程mgR(1-cosθ)=                                  ①(3分)

                                                              ②(2分)

由①②得F_N=(3-2cosθ)mg                                                 (1分)

由牛頓第三定律可知，物體對軌道的壓力F_N′=F_N=(3-2cosθ)mg,方向豎直向下。

(1分)

(3)設(shè)物體剛好到D點(diǎn),則                                   ③(2分)

對全過程由動能定理得:

mgL′sinθ-μmgcosθ·L′-mgR(1+cosθ)=mv_D²                    ④(4分)

由③④得應(yīng)滿足條件:L′=·R                               (1分)

答案：(1)  (2)(3-2cosθ)mg,方向豎直向下

(3)L′=