Question

12．如圖所示，兩金屬板正對(duì)并水平放置，分別與平行金屬導(dǎo)軌連接，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區(qū)域有垂直導(dǎo)軌所在平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．金屬桿ab與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，并一直向右勻速運(yùn)動(dòng)．某時(shí)刻ab進(jìn)入Ⅰ區(qū)域，同時(shí)一帶電小球從O點(diǎn)沿板間中軸線水平射入兩板間．a(chǎn)b在Ⅰ區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球勻速運(yùn)動(dòng)；ab從Ⅲ區(qū)域右邊離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)，小球恰好從金屬板的邊緣離開(kāi)．已知板間距為4d，導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等、寬度均為d．帶電小球質(zhì)量為m，電荷量為q，ab運(yùn)動(dòng)的速度為v₀，重力加速度為g．求：

（1）小球帶何種電荷及磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（2）ab在Ⅱ區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球的加速度a大小；
（3）要使小球恰好從金屬板的邊緣離開(kāi)，ab運(yùn)動(dòng)的速度v₀要滿足什么條件．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)ab進(jìn)入Ⅰ區(qū)域，同時(shí)一帶正電小球從O點(diǎn)沿板間中軸線水平射入兩板間．a(chǎn)b在Ⅰ區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球勻速運(yùn)動(dòng)，抓住小球電場(chǎng)力和重力相等、結(jié)合切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小以及勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度公式求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小．
（2）開(kāi)始小球所受電場(chǎng)力與重力相等，ab在Ⅱ磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球所受的電場(chǎng)力大小不變，方向反向，根據(jù)牛頓第二定律求出小球的加速度．
（3）ab分別在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球在電場(chǎng)中分別做勻速、類平拋和勻速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出ab運(yùn)動(dòng)的速度v₀要滿足的條件．

解答 解：（1）ab在磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小為：ε=BLv₀…①
金屬板間產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小為：$E=\frac{ε}{4d}$…②
ab在Ⅰ磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶電小球勻速運(yùn)動(dòng)，有mg=qE…③
聯(lián)立①②③得：$B=\frac{4dmg}{{qLv_0^{\;}}}$…④
（2）ab在Ⅱ磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)小球的加速度a，依題意，有qE+mg=ma…⑤
聯(lián)立③⑤得：a=2g…⑥
（3）依題意，ab分別在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球在電場(chǎng)中分別做勻速、類平拋和勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)發(fā)生的豎直分位移分別為S_Ⅰ、S_Ⅱ、S_Ⅲ；ab進(jìn)入Ⅲ磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，小球的運(yùn)動(dòng)速度為v_Ⅲ．則：
S_Ⅰ=0 …⑦
S_Ⅱ=$\frac{1}{2}•2g•{（\fracn5lcjrd{v_0}）^2}$…⑧
S_Ⅲ=v_Ⅲ$•\fracmj1ar6o{v_0}$…⑨
v_Ⅲ=$2g•\fracxpsz8b2{v_0}$…⑩
又：S_Ⅰ+S_Ⅱ+S_Ⅲ=2d
聯(lián)立可得：${v_0}=\sqrt{\frac{3gd}{2}}$．
答：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為$B=\frac{4dmg}{qL{v}_{0}^{\;}}$．
（2）ab在Ⅱ區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球的加速度大小為2g．
（3）要使小球恰好從金屬板的邊緣離開(kāi)，ab運(yùn)動(dòng)的速度v₀要滿足${v}_{0}=\sqrt{\frac{3gd}{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清ab棒在勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球的運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式綜合求解．