Question

16．圖1是交流發(fā)電機(jī)模型示意圖．在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，有一矩形線圖abcd可繞線圈平面內(nèi)垂直于磁感線的軸OO′轉(zhuǎn)動，由線圈引出的導(dǎo)線ae和df分別與兩個(gè)跟線圈一起繞OO′轉(zhuǎn)動的金屬圈環(huán)相連接，金屬圈環(huán)又分別與兩個(gè)固定的電刷保持滑動接觸，這樣矩形線圈在轉(zhuǎn)動中就可以保持和外電阻R形成閉合電路．圖2是線圈的正視圖，導(dǎo)線ab和cd分別用它們的橫截面來表示．已知ab長度為L₁，bc長度為L₂，線圈以恒定角速度ω逆時(shí)針轉(zhuǎn)動．（共N匝線圈）

（1）線圈平面處于中性面位置時(shí)開始計(jì)時(shí)，推導(dǎo)t時(shí)刻整個(gè)線圈中的感應(yīng)電動勢e₁表達(dá)式； 
（2）線圈平面處于與中性面成φ₀夾角位置時(shí)開始計(jì)時(shí)，如圖3所示，寫出t時(shí)刻整個(gè)線圈中的感應(yīng)電動勢e₂的表達(dá)式；
（3）若線圈電阻為r，求電阻R兩端測得的電壓，線圈每轉(zhuǎn)動一周電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱．（其它電阻均不計(jì)）

Answer 1

分析 （1）矩形線圈abcd轉(zhuǎn)動過程中，只有ab和cd切割磁感線，先求出轉(zhuǎn)動線速度，根據(jù)E=BLv，求出導(dǎo)線ab和cd因切割磁感線而產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢，從而寫出瞬時(shí)表達(dá)式；
（2）線圈平面處于與中性面成φ₀夾角位置時(shí)開始計(jì)時(shí)，則在（1）中的瞬時(shí)表達(dá)式中加個(gè)相位即可；
（3）先求出平均電動勢，根據(jù)歐姆定律求出平均電流，根據(jù)Q=I²RT即可求解．

解答 解：（1）電動勢的峰值E_m=NBSω=NBL₁L₂ω，
θ=ωt，
則t時(shí)刻整個(gè)線圈中的感應(yīng)電動勢e₁表達(dá)式e₁=NBL₁L₂ωsinωt．
（2）當(dāng)線圈由圖3位置開始運(yùn)動時(shí)，在t時(shí)刻整個(gè)線圈的感應(yīng)電動勢為e₂=NBL₁L₂ωsin（ωt+φ₀）
（3）由閉合電路歐姆定律可知I=$\frac{E}{R+r}$，
這里的E為線圈產(chǎn)生的電動勢的有效值$E=\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}$=$\frac{NB{L}_{1}{L}_{2}ω}{\sqrt{2}}$，
則線圈轉(zhuǎn)動一周在R上產(chǎn)生的焦耳熱為${Q}_{R}={I}^{2}RT$，
其中$T=\frac{2π}{ω}$，
所以Q=N²$\frac{πωR{N}^{2}{B}^{2}{{L}_{1}}^{2}{{L}_{2}}^{2}}{（R+r）^{2}}$．
答：（1）t時(shí)刻整個(gè)線圈中的感應(yīng)電動勢e₁表達(dá)式為e₁=NBL₁L₂ωsinωt．
（2）t時(shí)刻整個(gè)線圈中的感應(yīng)電動勢e₂的表達(dá)式e₂=NBL₁L₂ωsin（ωt+φ₀）
（3）線圈每轉(zhuǎn)動一周電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱N²$\frac{πωR{N}^{2}{B}^{2}{{L}_{1}}^{2}{{L}_{2}}^{2}}{（R+r）^{2}}$．

點(diǎn)評 當(dāng)線圈與磁場相平行時(shí)，即線圈邊框正好垂直切割磁感線，此時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢最大．求電荷量時(shí)，運(yùn)用交流電的平均值，求產(chǎn)生的熱能時(shí)，用交流電的有效值．