Question

12．過山車是一項富有刺激性的娛樂項目，那種風(fēng)馳電掣、有驚無險的快感令不少人著迷，如圖所示為一過山車的示意圖．把過山車比作為一質(zhì)量為m、長度為2a的鏈條，從斜面AB上某一高度h處由靜止釋放，然后滑上水平面BC，再進(jìn)入半徑為R的豎直圓軌道，最后再滑上水平面CD，已知斜面的傾角為θ，鏈條與斜面AB間的動摩擦因數(shù)為μ，水平面BC、CD和豎直圓軌道光滑，BC段的長度大于鏈條的長度，點E是鏈條的中點，在運動過程中鏈條上各點的速度大小始終相等，鏈條在拐彎處沒有能量損失，重力加速度為g，試求：
（1）鏈條在沿斜面下滑的過程中，點E上段鏈條對下段鏈條沿斜面方向的作用力F；
（2）鏈條全部滑上水平面BC上時的速度v；
（3）若a=πR，則要使鏈條滿足上述運動，h與R之間應(yīng)滿足的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出下滑過程中的加速度大小，再以上半部分為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律求解作用力F；
（2）求出開始時鏈條中心距離水平地面的高度，分兩部分分析摩擦力做的功，根據(jù)動能定理求解速度大��；
（3）根據(jù)牛頓第二定律求解通過圓弧最高點的速度，再利用機械能守恒定律求解h與R之間應(yīng)滿足的關(guān)系．

解答 解：（1）設(shè)整體下滑過程中的加速度大小為a_加，根據(jù)牛頓第二定律可得：
mgsinθ-μmgcosθ=ma_加，
解得：a_加=gsinθ-μgcosθ；
以E上端的鏈條為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律可得：
F+$\frac{1}{2}$mgsinθ-μ$•\frac{1}{2}$mgcosθ=$\frac{1}{2}$ma_加，
解得：F=0；
（2）開始時鏈條中心距離水平地面的高度為：H=h-asinθ；
整個過程中克服摩擦力做的功為：W_f=μmgcosθ•（$\frac{h}{sinθ}-2a$）+$\frac{1}{2}μmgcosθ•2a$=$μmgcosθ（\frac{h}{sinθ}-a）$，
根據(jù)動能定理可得：mgH-W_f=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得：v=$\sqrt{2gh-2gasinθ-μgcosθ（\frac{2h}{sinθ}-2a）}$；
（3）若a=πR，則鏈條的長度為2a=2πR，即為半徑為R的圓的周長；所以要通過半徑為R的圓，鏈條重心剛好達(dá)到圓弧最高點時的速度至少為v′，
根據(jù)向心力計算公式可得：mg=m$\frac{v{′}^{2}}{R}$，
解得：v′=$\sqrt{gR}$；
將鏈條分為兩部分，這兩部分的重心高度恰好為R，根據(jù)機械能守恒定律可得：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=mgR+$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$，
解得：h=$\frac{3+2πsinθ-2πμcosθ}{2-2μcotθ}•R$；
所以要使鏈條滿足上述運動，h與R之間應(yīng)滿足的關(guān)系為h≥$\frac{3+2πsinθ-2πμcosθ}{2-2μcotθ}•R$．
答：（1）鏈條在沿斜面下滑的過程中，點E上段鏈條對下段鏈條沿斜面方向的作用力為0；
（2）鏈條全部滑上水平面BC上時的速度為$\sqrt{2gh-2gasinθ-μgcosθ（\frac{2h}{sinθ}-2a）}$；
（3）若a=πR，則要使鏈條滿足上述運動，h與R之間應(yīng)滿足的關(guān)系為h≥$\frac{3+2πsinθ-2πμcosθ}{2-2μcotθ}•R$．

點評 本題主要是考查了動能定理；運用動能定理解題時，首先要選取研究過程，然后分析在這個運動過程中哪些力做正功、哪些力做負(fù)功，初末動能為多少，根據(jù)動能定理列方程解答；動能定理的優(yōu)點在于適用任何運動包括曲線運動；一個題目可能需要選擇不同的過程多次運用動能定理研究，也可以全過程根據(jù)動能定理解答