Question

（2004?揚(yáng)州一模）搭載有“勇氣”號(hào)火星車(chē)的美國(guó)火星探測(cè)器，于北京時(shí)間2003年6月11日凌晨1時(shí)58分成功升空，經(jīng)過(guò)了206個(gè)晝夜長(zhǎng)達(dá)4億8千萬(wàn)公里漫長(zhǎng)的星際旅行，于北京時(shí)間2004年1月4日12時(shí)35分“勇氣”號(hào)火星車(chē)終于成功登陸在火星表面．
“勇氣”號(hào)離火星地面12m時(shí)與降落傘自動(dòng)脫離，被眾氣囊包裹的“勇氣”號(hào)下落到地面后又彈跳到15m高處，這樣上下碰撞了若干次后，才靜止在火星表面上．已知火星的半徑為地球半徑的二分之一，質(zhì)量為地球的九分之一（取地球表面的重力加速度為10m/s²，計(jì)算結(jié)果均取二位有效數(shù)字）．
（1）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，火星表面的重力加速度是多少？
（2）若被眾氣囊包裹的“勇氣”號(hào)第一次碰火星地面時(shí)，其機(jī)械能損失為其12m高處機(jī)械能的10%，不計(jì)空氣的阻力，求“勇氣”號(hào)在12m高處的速度．
（3）已知“勇氣”號(hào)和氣囊的總質(zhì)量為200㎏，設(shè)與地面第一次碰撞時(shí)氣囊和地面的接觸時(shí)間為0.4s，求“勇氣”號(hào)和氣囊與火星碰撞時(shí)所受到的平均沖力．

Answer 1

分析：（1）在星球表面處重力等于萬(wàn)有引力

GMm

R2

=mg，得g=

GM

R2

，根據(jù)火星與地球的質(zhì)量比和半徑比，計(jì)算可得它們的表面重力加速度之比，從而可知火星表面的重力加速度．
（2）設(shè)探測(cè)器在12m高處向下的速度為v₀，則根據(jù)能量關(guān)系

m v 2 0

2

+mg火h1-mg火h2=0.1×(

m v 2 0

2

+mg火h1)，代入數(shù)據(jù)，計(jì)算可解得“勇氣”號(hào)在12m高處的速度v₀．
（3）設(shè)探測(cè)器與火星碰前瞬間的速度為v₁，反彈的速度為v₂，根據(jù)勻變速運(yùn)動(dòng)的位于與速度的關(guān)系公式有

v

2 1

=

v

2 0

+2g火h1和

v

2 2

=2g火h2．
對(duì)探測(cè)器由動(dòng)量定理可得 （F-mg_火）t=mv₂-（-mv₁），解以上各式，可得碰撞時(shí)所受到的平均沖力F．

解答：解：（1）在星球表面處重力等于萬(wàn)有引力

GMm

R2

=mg，
可得

g火

g地

=

M火 R 2 地

M地 R 2 火

=

4

9

，
g火=

4

9

g地=

40

9

m/s2=4.44m/s²．
（2）設(shè)探測(cè)器在12m高處向下的速度為v₀，則根據(jù)能量關(guān)系有

m v 2 0

2

+mg火h1-mg火h2=0.1×(

m v 2 0

2

+mg火h1)
代入數(shù)據(jù)，解得v₀=6.5m/s 
（3）設(shè)探測(cè)器與火星碰前瞬間的速度為v₁，反彈的速度為v₂，則根據(jù)勻變速運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有

v

2 1

=

v

2 0

+2g火h1

v

2 2

=2g火h2
規(guī)定向上為正，對(duì)探測(cè)器由動(dòng)量定理可得 （F-mg_火）t=mv₂-（-mv₁）
解以上各式，得 F=1.3×10⁴N  
答：（1）火星表面的重力加速度是4.44m/s²．
（2）若被眾氣囊包裹的“勇氣”號(hào)第一次碰火星地面時(shí)，其機(jī)械能損失為其12m高處機(jī)械能的10%，不計(jì)空氣的阻力，則“勇氣”號(hào)在12m高處的速度為=6.5m/s．
（3）已知“勇氣”號(hào)和氣囊的總質(zhì)量為200㎏，設(shè)與地面第一次碰撞時(shí)氣囊和地面的接觸時(shí)間為0.4s，則“勇氣”號(hào)和氣囊與火星碰撞時(shí)所受到的平均沖力為1.3×10⁴N．

點(diǎn)評(píng)：本題把天體運(yùn)動(dòng)和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式以及能量、動(dòng)量關(guān)系結(jié)合力起來(lái)，題型新穎，對(duì)綜合能力要求較高，有一定的難度．