Question

如圖1所示，在x軸上0到d范圍內(nèi)存在電場(chǎng)（圖中未畫出），x軸上各點(diǎn)的電場(chǎng)沿著x軸正方向，并且電場(chǎng)強(qiáng)度大小E隨x的分布如圖2所示；在x軸上d到2d范圍內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．一質(zhì)量為m，電量為+q粒子沿x軸正方向以一定速度從O點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)，最終粒子恰從坐標(biāo)為（2d，

3

3

d）的P點(diǎn)離開磁場(chǎng)．不計(jì)粒子重力．
（1）求在x=0.5d處，粒子的加速度大小a；
（2）求粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；
（3）類比是一種常用的研究方法．對(duì)于直線運(yùn)動(dòng)，教科書中講解了由v-t圖象求位移的方法．請(qǐng)你借鑒此方法，并結(jié)合其他物理知識(shí)，求電場(chǎng)對(duì)粒子的沖量大小I．

Answer 1

分析：（1）從圖象中得出x=0.5d處的電場(chǎng)強(qiáng)度，根據(jù)牛頓第二定律求出粒子的加速度大�。�
（2）根據(jù)幾何關(guān)系得出粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑和圓心角的大小，根據(jù)t=

α

2π

T，結(jié)合周期公式求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（3）根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中的軌道半徑，結(jié)合軌道半徑的公式求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度，根據(jù)圖象求出電場(chǎng)力做功W=

1

2

qE0d．根據(jù)動(dòng)能定理求出帶電粒子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度，最后根據(jù)動(dòng)量定理求出電場(chǎng)對(duì)粒子的沖量大小I．

解答：解：（1）由圖象，x=0.5d處，電場(chǎng)強(qiáng)度為E=0.5E₀，由牛頓第二定律得：
qE=ma
解得：a=

qE0

2m

．
（2）在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，設(shè)半徑為R，由幾何關(guān)系
R2=d2+(R-

3

3

d)2
解得：R=

2 3

3

d．
設(shè)圓弧所對(duì)圓心為α，滿足：sinα=

d

R

=

3

2

解得：α=

π

3

．
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為T，粒子在磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)速率為v，
圓運(yùn)動(dòng)半徑為 R，根據(jù)牛頓第二定律：
qvB=m

v2

R

粒子運(yùn)動(dòng)的周期T=

2πR

v

=

2πm

qB

．
所以，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=

α

2π

T=

πm

3qB

．
（3）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：
qvB=m

v2

R

，又粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R=

2 3

3

d．
解得粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)速度v=

2 3 qBd

3m

．
由圖象可知，電場(chǎng)中電場(chǎng)力對(duì)粒子做功W=

1

2

qE0d．
設(shè)粒子剛進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)速度為v₀，根據(jù)動(dòng)能定理：W=

1

2

mv2-

1

2

mv02．
解得：v0=

v2- 2W m

=

( 2 3 qBd 3m )2- qE0d m

．
根據(jù)動(dòng)量定理：I=mv-mv0=

2 3 qBd

3

-

4q2B2d2 3 -qE0dm

．
答：（1）在x=0.5d處，粒子的加速度大小為

qE0

2m

．
（2）粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

πm

3qB

．
（3）電場(chǎng)對(duì)粒子的沖量大小為

2 3 qBd

3

-

4q2B2d2 3 -qE0dm

．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵掌握帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑公式和周期公式，掌握求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的方法，以及知道圖線與橫軸圍成的面積再乘以電量為電場(chǎng)力所做的功．