Question

12．在如圖所示的裝置中，兩個(gè)光滑的定滑輪的半徑很小，表面粗糙的斜面固定在地面上，斜面的傾角為θ=30⁰，用一根跨過(guò)定滑輪的細(xì)線連接甲、乙兩物體，把甲物體放在斜面上且連線與斜面平行，把乙物體懸在空中，并使懸線拉直且偏離豎直方向α=60⁰．現(xiàn)同時(shí)釋放甲、乙兩物體，乙物體將在豎直平面內(nèi)振動(dòng)．當(dāng)乙物體在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，甲物體始終保持靜止，且當(dāng)乙物體運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí)，甲物體在斜面上均恰好未滑動(dòng)．已知乙物體的質(zhì)量為m=1kg，若取重力加速度g=10m/s²．試求：
（1）乙物體經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí)懸線的拉力大小；
（2）甲物體的質(zhì)量M及斜面對(duì)甲物體的最大靜摩擦力f．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)乙物體運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，拉力最小，此時(shí)甲物體有沿斜面向上的最大靜摩擦力；當(dāng)乙物體運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，拉力最大，此時(shí)甲物體有沿斜面向下的最大靜摩擦力；
（2）根據(jù)共點(diǎn)力平衡列出表達(dá)式，求出甲物體的質(zhì)量和最大靜摩擦力．

解答 解：（1）設(shè)當(dāng)乙物體運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，繩子上的彈力為F_T1
對(duì)乙物體F_T1=mgcosα=5 N
設(shè)當(dāng)乙物體運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，繩子上的彈力為F_T2
對(duì)乙物體由機(jī)械能守恒定律：mgl（1-cosα）=$\frac{1}{2}$mv²
又由牛頓第二定律：F_T2-mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$
得：F_T2=mg（3-2cosα）=20 N
（2）乙在最高點(diǎn)時(shí)甲物體恰好不下滑，有：Mgsinθ=f+F_T1
乙在最低點(diǎn)時(shí)甲物體恰好不上滑，有：Mgsinθ+f=F_T2
代入數(shù)據(jù)可解得：M=2.5kg，f=7.5N
答：（1）乙物體經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)懸線的拉力是5N，最低點(diǎn)時(shí)懸線的拉力大小是20N；
（2）甲物體的質(zhì)量是2.5kg，斜面對(duì)甲物體的最大靜摩擦力是7.5N．

點(diǎn)評(píng) 本題是動(dòng)能定理和動(dòng)力學(xué)結(jié)合的問(wèn)題，關(guān)鍵找出兩個(gè)臨界狀態(tài)．在兩個(gè)臨界狀態(tài)下甲物體處于平衡狀態(tài)．