Question

3．如圖所示，一個(gè)半徑為R的$\frac{1}{4}$圓周的軌道，O點(diǎn)為圓心，B為軌道上的一點(diǎn)，OB與水平方向的夾角為37°，OC連接水平軌道的左側(cè)與一固定平臺相連，D點(diǎn)有一質(zhì)量為m的小物塊（可看做質(zhì)點(diǎn)），距離O點(diǎn)的距離為L，以不同的初速度向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，D、O、C三點(diǎn)在同一直線上，已知物塊與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，cos37°=0.8，sin37°=0.6，不計(jì)空氣阻力．
（1）若小物塊恰能擊中B點(diǎn)，求小物塊的初速度v₀；
（2）若小物塊恰好能擊中B點(diǎn)，試通過計(jì)算判斷小球落到軌道時(shí)速度會(huì)否與圓弧垂直；
（3）改變初速度v₀的大小，求小物塊落到軌道時(shí)動(dòng)能的最小值．

Answer 1

分析 （1）小物塊離開O點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求得初速度v₀；
（2）小物塊做平拋運(yùn)動(dòng)，通過運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求得位移的偏轉(zhuǎn)角與速度的偏轉(zhuǎn)角來判斷；
（3）設(shè)小球落在圓周上時(shí)落地點(diǎn)與O點(diǎn)的連線與水平方向的夾角為θ，由動(dòng)能定理得到動(dòng)能與θ的關(guān)系式，再求動(dòng)能的最小值．

解答 解：（1）小物塊離開O點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，由題有：
  Rcos37°=v₀t
  Rsin37°=$\frac{1}{2}$gt²；
解得 v₀=$\sqrt{\frac{8}{15}gR}$ 
（2）設(shè)落點(diǎn)與O點(diǎn)的連線與水平方向的夾角為θ，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，由
Rcosθ=v₀t，Rsinθ=$\frac{1}{2}$gt²；
位移方向與圓弧垂直 tanθ=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$=$\frac{gt}{2{v}_{0}}$
設(shè)小物塊落在圓周上時(shí)速度方向與水平方向的夾角為α，則
 tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{gt}{{v}_{0}}$=2tanθ，則α≠θ，所以小球不能垂直擊中圓�。�
（3）設(shè)落地點(diǎn)與O點(diǎn)的連線與水平方向的夾角為θ，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，
  Rcosθ=v₀t，Rsinθ=$\frac{1}{2}$gt²； 
由動(dòng)能定理得：mgRsinθ=E_K-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得 E_K=mgR（$\frac{3}{4}$sinθ+$\frac{1}{4sinθ}$）
由數(shù)學(xué)知識得：當(dāng)$\frac{3}{4}$sinθ=$\frac{1}{4sinθ}$即sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，E_K取最小值，最小值為 E_Kmin=$\frac{\sqrt{3}}{2}$mgR
答：（1）若小物塊恰能擊中B點(diǎn)，小物塊的初速度v₀是$\sqrt{\frac{8}{15}gR}$．
（2）若小物塊恰好能擊中B點(diǎn)，小球落到軌道時(shí)速度與圓弧不垂直．
（3）改變初速度v₀的大小，小物塊落到軌道時(shí)動(dòng)能的最小值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$mgR．

點(diǎn)評 本題主要考查了平拋運(yùn)動(dòng)，抓住在水平方向勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向自由落體運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用數(shù)學(xué)上函數(shù)法求動(dòng)能的最小值．