Question

20．天文工作者測(cè)得某行星的半徑為R₁． 它有一顆衛(wèi)星，軌道半徑為R₂，運(yùn)行周期為T(mén)．已知萬(wàn)有引力常量為G．
（1）求該行星的平均密度；
（2）要在該星球上發(fā)射一顆靠近表面運(yùn)行的人造衛(wèi)星，此衛(wèi)星的速度為多大？

Answer 1

分析 （1）由萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力，則向心力公式可得出行星的質(zhì)量；根據(jù)密度的定義式求解；
（2）行星表面的物體，萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力，由萬(wàn)有引力公式可得出行星表面的速度

解答 解：（1）根據(jù)萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力：$\frac{GMm}{{R}_{2}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{R}_{2}$                   
密度$ρ=\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}_{1}^{3}}$=$\frac{3π{R}_{2}^{3}}{G{T}^{2}{R}_{1}^{3}}$
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力：$\frac{GMm}{{R}_{1}^{2}}=m\frac{{V}^{2}}{{R}_{1}}$得：V=$\sqrt{\frac{GM}{{R}_{1}}}$=$\frac{2π{R}_{2}}{T}\sqrt{\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}}}$
答：（1）該行星的平均密度$\frac{3π{R}_{2}^{3}}{G{T}^{2}{R}_{1}^{3}}$；
（2）要在該星球上發(fā)射一顆靠近表面運(yùn)行的人造衛(wèi)星，此衛(wèi)星的速度為$\frac{2π{R}_{2}}{T}\sqrt{\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}}}$

點(diǎn)評(píng) 本題為萬(wàn)有引力定律的直接應(yīng)用，注意萬(wàn)有引力只能求出中心天體的質(zhì)量；當(dāng)題目中物理是較多時(shí)，在解題時(shí)要注意區(qū)分已知量和未知量