Question

18．如圖所示，在正方形區(qū)域abcd內(nèi)充滿方向垂直紙面向里的、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．在t=0時(shí)刻，一位于正方形區(qū)域中心O的粒子源在abcd平面內(nèi)向各個(gè)方向發(fā)射出大量帶正電的同種粒子，所有粒子的初速度大小均相同，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑恰好等于正方形邊長(zhǎng)，不計(jì)重力和粒子之間的相互作用力．已知平行于ad方向發(fā)射的粒子在t=t₀時(shí)刻剛好從磁場(chǎng)邊界cd上的某點(diǎn)離開磁場(chǎng)，（已知sin$\frac{23π}{200}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$）求：
（1）粒子的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）從粒子發(fā)射到粒子全部離開磁場(chǎng)所用的時(shí)間；
（3）假設(shè)粒子源發(fā)射的粒子在各個(gè)方向均勻分布，在t=t₀時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子數(shù)與粒子發(fā)射的總粒子數(shù)之比．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由題粒子的軌跡半徑等于正方形的邊長(zhǎng)．畫出平行于ad方向發(fā)射的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何關(guān)系求出軌跡的圓心角θ，根據(jù)t=t₀=$\frac{θ}{2π}$，及周期公式T=$\frac{2πm}{qB}$求得$\frac{q}{m}$．
（2）由于粒子的初速度大小相等，所有粒子的軌跡半徑相等，運(yùn)動(dòng)軌跡最長(zhǎng)的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間也最長(zhǎng)，畫出在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何知識(shí)確定出該粒子軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角，即可求出最長(zhǎng)時(shí)間，即為從粒子發(fā)射到全部粒子離開磁場(chǎng)所用的時(shí)間．
（3）由題意，同一時(shí)刻在磁場(chǎng)中的粒子到O點(diǎn)的距離應(yīng)相等，在t=t₀時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子應(yīng)位于以O(shè)為圓心、OK為半徑的圓弧上，畫出軌跡，根據(jù)幾何知識(shí)求得在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子區(qū)域的圓心角，即可求得仍在磁場(chǎng)中的粒子數(shù)與粒子源發(fā)射的總粒子數(shù)之比．

解答 解：（1）初速度平行于ad方向發(fā)射的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖甲所示，

其圓心為O₁，由幾何關(guān)系有∠OO₁k=$\frac{π}{6}$
則t₀=$\frac{1}{12}$T，即T=12t₀
粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛倫茲力提供．設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，根據(jù)牛頓第二定律有
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，又v=$\frac{2πR}{T}$
由以上幾式可得$\frac{q}{m}$=$\frac{π}{6B{t}_{0}}$
（2）如圖乙所示，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子的軌跡應(yīng)過正方形的頂點(diǎn)．

設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為θ，則sin$\frac{θ}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$
在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間t=$\frac{θ}{2π}$T
所以從粒子發(fā)射到粒子全部離開磁場(chǎng)所用的時(shí)間為
t=$\frac{69}{50}$t₀
（3）依題意，同一時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子到O點(diǎn)距離相等，在t₀時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子應(yīng)位于以O(shè)為圓心、Ok為半徑的弧上，如圖丙所示．
由幾何關(guān)系知∠nOk=$\frac{π}{12}$
此時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子數(shù)與粒子發(fā)射的總粒子數(shù)之比為：
$\frac{2π-8×\frac{π}{12}}{2π}$=$\frac{2}{3}$

答：（1）粒子的比荷$\frac{q}{m}$為$\frac{π}{6B{t}_{0}}$；
（2）從粒子發(fā)射到粒子全部離開磁場(chǎng)所用的時(shí)間為$\frac{69}{50}$t₀；
（3）假設(shè)粒子源發(fā)射的粒子在各個(gè)方向均勻分布，在t=t₀時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子數(shù)與粒子發(fā)射的總粒子數(shù)之比為$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的解題關(guān)鍵是畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何知識(shí)確定隱含的極值條件和粒子運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角．