Question

7．如圖所示，豎直放置的半圓形光滑絕緣軌道半徑為R，圓心為O，下端與絕緣水平軌道在B點(diǎn)平滑連接．一質(zhì)量為m的物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），置于水平軌道上的A點(diǎn)．已知A、B兩點(diǎn)間的距離為L(zhǎng)，物塊與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g．
（1）若物塊能到達(dá)的最高點(diǎn)是半圓形軌道上與圓心O等高的C點(diǎn)，則物塊在A點(diǎn)水平向左運(yùn)動(dòng)的初速度應(yīng)為多大？
（2）若對(duì)物塊始終施加水平向左的恒力F=$\frac{5}{3}$μmg，并將其從A點(diǎn)由靜止釋放，且運(yùn)動(dòng)過程始終不脫離軌道，求物塊第2n（n=1、2、3、…）次經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）從A到C由動(dòng)能定理即可求得初速度；
（2）每次都利用動(dòng)能定理即可求得到達(dá)B點(diǎn)的速度表達(dá)式，則可得出對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)式．

解答 解：（1）設(shè)物體在A點(diǎn)時(shí)的速度為v₁，由動(dòng)能定理有：
-μmgL-mgR=0-$\frac{1}{2}$m${{v}_{1}}^{2}$　
解得：v₁=$\sqrt{2g（μL+R）}$．
（2）設(shè)第2、4、6、…2n次經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度分別為v₂、v₄、…v_2n
第2、4、6…2n次離開B點(diǎn)向右滑行的最大距離分別為L(zhǎng)₁、L₂、…L_n，則有：
（qE-μmg）L=$\frac{1}{2}$m${{v}_{2}}^{2}$　
-（qE+μmg）L₁=0-$\frac{1}{2}$m${{v}_{2}}^{2}$　
（qE-μmg）L₁=$\frac{1}{2}$m${{v}_{4}}^{2}$
解得：$\frac{{v}_{4}}{{v}_{2}}$=$\sqrt{\frac{qE-μmg}{qE+μmg}}$=$\frac{1}{2}$　
同理$\frac{{v}_{6}}{{v}_{4}}$=$\frac{1}{2}$…$\frac{{v}_{2n}}{{v}_{2n-2}}$=$\frac{1}{2}$
綜上有：$\frac{{v}_{2n}}{{v}_{2}}$=（$\frac{1}{2}$）^n-1
得：v_2n=（$\frac{1}{2}$）^n-2$\sqrt{\frac{μgL}{3}}$．
答：（1）物塊在A點(diǎn)水平向左運(yùn)動(dòng)的初速度應(yīng)為$\sqrt{2g（μL+R）}$
（2））物塊第2n（n=1，2，3…）次經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度大小為（$\frac{1}{2}$）^n-2$\sqrt{\frac{μgL}{3}}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓周運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)的綜合，知道圓周運(yùn)動(dòng)在最低點(diǎn)和最高點(diǎn)向心力的來源，結(jié)合動(dòng)能定理和牛頓第二定律進(jìn)行求解．