Question

2．如圖，質(zhì)量為m的小球b用長h的細繩懸掛于水平軌道BC的出口C處．質(zhì)量也為m的小球a，從距BC高h的A處由靜止釋放，沿光滑軌道ABC滑下，在C處與b球正碰并與b粘在一起．已知BC軌道距地面的高度為0.5h．試問：
（1）a與b球碰前瞬間的速度多大？
（2）a、b兩球碰后瞬間，細繩對小球的拉力多大？
（3）若細繩能承受的最大拉力為2.8mg，則小球在DE水平面上的落點距C的水平距離是多少？

Answer 1

分析 （1）小球a由A點運動到C點的過程中，只有重力做功，機械能守恒，求出與b球碰撞前的速度v_c；
（2）ab兩球碰撞過程中，動量守恒，可求出碰后ab兩球的共同速度，由圓周運動的知識可求出，ab兩球以這么大的速度作圓周運動時繩子需要提供的力的大��；
（3）與繩子的承受能力比較，判斷出繩子會斷裂，ab兩球一起做平拋運動，再由平拋運動的知識求出水平距離．

解答 解：（1）設a球經(jīng)C點時速度為v_c，則由機械能守恒得：
$mgh=\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}$                                 
解得：${v}_{c}=\sqrt{2gh}$
即a與b球碰前的速度為$\sqrt{2gh}$
（2）設b球碰后的共同速度為v，在碰撞的過程中水平方向的動量守恒，選擇向左為正方向，由動量守恒得：
mv_c=（m+m）v                               
故有：$v=\frac{1}{2}{v}_{c}=\frac{1}{2}\sqrt{2gh}$                            
小球被細繩懸掛繞O擺動時，若細繩拉力為T，則有：
$T-2mg=2m\frac{{v}^{2}}{h}$                               
解得：T=3mg                                   
（3）由于T＞2.8mg，細繩會斷裂，小球做平拋運動，設平拋的時間為t，則有：
$0.5h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$                                    
$t=\;\sqrt{\frac{h}{g}}$                                        
故落點距C的水平距離為：
$S=vt=\frac{1}{2}\sqrt{2gh}×\sqrt{\frac{h}{g}}=\frac{\sqrt{2}}{2}h$               
小球最終落到地面距C水平距離$\frac{\sqrt{2}}{2}h$處．
答：（1）a與b球碰前瞬間的速度為$\sqrt{2gh}$．
（2）a、b兩球碰后瞬間，細繩對小球的拉力是3mg；
（3）a、b兩球碰后，細繩會斷裂，小球在DE水平面上的落點距C的水平距離是$\frac{\sqrt{2}}{2}h$．

點評 本題考察了機械能守恒、動量守恒、平拋運動以及關(guān)于向心力的計算．
當只有重力（或系統(tǒng)內(nèi)的彈力）做功時，機械能守恒，減少的重力勢能（或彈簧的彈性勢能）轉(zhuǎn)化為物體的動能．可用表達式△E_k=mg△h來計算．
關(guān)于動量守恒定律的應用，首先要確定研究對象，對研究對象進行受力分析，判斷是否符合守恒的條件，然后確定正方向，列式求解．
對于平拋引動，要把運動分解成水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動，運行的時間由拋出點的高度決定；水平位移由拋出點的高度和拋出時的速度共同決定．
關(guān)于向心力的計算，首先要正確的對研究對象進行受力分析，找出沿半徑方向上所有力的合力，即為向心力，結(jié)合圓周運動的相關(guān)公式來解決問題．