Question

8．2015年7月23日美國(guó)航天局宣布，天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)“另一個(gè)地球”--太陽(yáng)系外行星開(kāi)普勒452b．假設(shè)行星開(kāi)普勒452b繞恒星公轉(zhuǎn)周期為385天，它的體積是地球的5倍，其表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的2倍，它與恒星的距離和地球與太陽(yáng)的距離很接近，則行星開(kāi)普勒452b與地球的平均密度的比值及其中心恒星與太陽(yáng)的質(zhì)量的比值分別為（　�。�

• A． $（\frac{8}{5}{）^{\frac{1}{3}}}$和$（\frac{365}{385}{）^2}$
• B． $（\frac{8}{5}{）^{\frac{1}{3}}}$和$（\frac{385}{365}{）^2}$
• C． $（\frac{5}{8}{）^{\frac{1}{3}}}$和$（\frac{365}{385}{）^2}$
• D． $（\frac{5}{8}{）^{\frac{1}{3}}}$和$（\frac{385}{365}{）^2}$

Answer 1

分析 在行星表面，萬(wàn)有引力等于重力，據(jù)此列式，再根據(jù)密度、體積公式聯(lián)立方程求解，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，結(jié)合公轉(zhuǎn)周期列式求出恒星質(zhì)量的表達(dá)式，進(jìn)而求出質(zhì)量之比即可．

解答 解：在行星表面，萬(wàn)有引力等于重力，則有：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
而$ρ=\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$，
解得：ρ=$\frac{3g}{4πRG}$，
而行星開(kāi)普勒452b的體積是地球的5倍，則半徑為地球半徑的$\root{3}{5}$倍，
則有：$\frac{{ρ}_{行}}{{ρ}_{地}}=\frac{{g}_{行}{R}_{地}}{{g}_{地}{R}_{行}}=（\frac{8}{5}）^{\frac{1}{3}}$，
行星繞恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得：
$G\frac{M′M}{{r}^{2}}=M\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
解得：M′=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{{GT}^{2}}$，
軌道半徑相等，行星開(kāi)普勒452b繞恒星公轉(zhuǎn)周期為385天，地球的公轉(zhuǎn)周期為365天，則$\frac{{M}_{恒}}{{M}_{太}}=\frac{{{T}_{地}}^{2}}{{{T}_{行}}^{2}}=（\frac{365}{385}）^{2}$，故A正確．
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是根據(jù)行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，列方程求出太陽(yáng)和恒星的質(zhì)量，難度適中．