Question

7．質(zhì)量為m、邊長為L的正方形導體框，從有界的勻強磁場上方由靜止自由下落，線框每邊電阻為R，勻強磁場的寬度為H．（L＜H），磁感應強度為B，方向垂直于紙面向內(nèi)．線框下落過程中ab邊與磁場邊界平行且沿水平方向．已知ab邊剛進入磁場時和剛穿出磁場時線框都做減速運動，加速度大小都為$\frac{1}{3}$g．求：
（1）ab邊剛進入磁場時ab邊的電勢差U_ab；
（2）cd邊剛進入磁場時的速度；
（3）線框進入磁場的過程中，ab邊的熱發(fā)量．

Answer 1

分析 （1）ab邊剛進入磁場時磁場時線框做減速運動，已知加速度，根據(jù)牛頓第二定律和安培力與速度的關(guān)系式，可求出此時線框的速度，由E=BLv求得感應電動勢，再得到ab邊的電勢差U_ab；
（2）cd邊進入磁場后到ab邊剛穿出磁場過程，線框的磁通量不變，沒有感應電流產(chǎn)生，不受安培力而勻加速運動，由運動學公式求出cd邊剛進入磁場時線框的速度；
（3）從線框開始下落到整個線框全部穿出磁場的過程，線框的重力勢能減小轉(zhuǎn)化為線框的動能和電路的內(nèi)能，由能量守恒定律求解焦耳熱．

解答 解：（1）設ab邊剛進入磁場時和ab邊剛出磁場時線框的速度為v，由牛頓第二定律可得：
  $\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$-mg=m•$\frac{1}{3}$g
解得：v=$\frac{4mgR}{3{B}^{2}{L}^{2}}$
ab邊剛進入磁場時ab邊產(chǎn)生的感應電動勢 E=BLv
由右手定則知a點的電勢低于b點的電勢，則ab邊的電勢差U_ab=-$\frac{3}{4}$E
聯(lián)立得：U_ab=-$\frac{mgR}{BL}$
（2）設cd邊剛進入磁場時線框的速度大小為v′，考察從cd邊剛進入磁場到ab邊剛出磁場的過程，由運動學公式可得：
 v²-v′²=2g（H-L）
解得：v′=$\sqrt{\frac{16{m}^{2}{g}^{2}{R}^{2}}{9{B}^{4}{L}^{4}}-2g（H-L）}$
（3）線框進入磁場的過程中，由能量守恒可得：
 mgL+$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv′²=Q               
解得：Q=mgL+mg（H-L）=mgH
所以ab邊的熱發(fā)量為 Q′=$\frac{1}{4}$Q=$\frac{1}{4}$mgH
答：
（1）ab邊的電勢差為-$\frac{mgR}{BL}$；
（2）cd邊剛進入磁場時，線框的速度大小為$\sqrt{\frac{16{m}^{2}{g}^{2}{R}^{2}}{9{B}^{4}{L}^{4}}-2g（H-L）}$；
（3）線框進入磁場的過程中，ab邊產(chǎn)生的熱量為$\frac{1}{4}$mgH．

點評 本題首先要正確分析線框的運動情況，會推導安培力的表達式，把握能量是如何轉(zhuǎn)化的．