Question

為研究靜電除塵，有人設計了一個盒狀容器，容器側面是絕緣的透明有機玻璃，它的上、下底面都是而積為A的金屬板，間距為L，金屬板連接到電壓為U的高壓電源正負極，如圖所示，現(xiàn)把定量均勻分布的煙塵顆粒密閉在容器內(nèi)，單位體積內(nèi)煙塵顆粒數(shù)為n，假設這些顆粒都處于靜止狀態(tài)，每個顆粒質(zhì)量為m，帶有電量為q的正電荷，碰到下極板時會被極板吸附，不考慮顆粒之間的相瓦作用、空氣阻力以及顆粒所受重力，求合上電鍵后：
（1）經(jīng)過多長時間煙塵顆粒可以被全部吸附？
（2）將煙塵完全除掉，電場對煙塵共做多少功？
（3）經(jīng)過多長時間容器中煙塵顆粒的總動能達到最大？

Answer 1

分析：在本題中帶電顆粒做初速度為零的勻加速運動直到到達負極板為止，當離負極板最遠的粒子到達負極板時，所有顆粒全部被吸收；由于顆粒均勻分布在密閉容器內(nèi)，可以等效為所有顆粒從兩極板中間被加速到負極板，從而求出電場對顆粒做的總功；寫出動能表達式，利用數(shù)學知識和運動學公式可以求出經(jīng)過多長時間顆粒的總動能最大．

解答：解：（1）當最靠近上板的塵粒運動到下板時，全部煙塵就被吸附，
設需時間t
煙塵顆粒受到的電場力    
F=qE=

qU

L

從盒子最上端運動到盒底的塵粒運動時間設為t
則L=

1

2

at2
t=

2mL2 qU

（2）設容器容積為V，電源接通前塵�？倲�(shù)為N，
則N=nV=nLA  
電場對煙塵做的總功W=

1

2

NqU    
=

1

2

nALqU 
（3）設原先位于盒頂?shù)膲m粒下落距離x時，部分塵粒已被下極板吸附，容器內(nèi)未被吸附的塵粒數(shù)為
nA（L-x）                       
它們的總動能設為E_K，
則    E_K=nA（L-x）．

1

2

mv²=

n(L-X)?qxU

L

            
式中的因式（L-x）x=-（x²-Lx+

L2

4

）+

L2

4

=

L2

4

-（x-

L

2

）²，
當x=

L

2

時該因式有最大值
故 當x=

L

2

時，E_K達最大                                               
設此時刻為t₁則x=

1

2

at₁²
求得t1=

mL2 qU

答：（1）經(jīng)過

2mL2 qU

時間煙塵顆�？梢员蝗�部吸附；
（2）將煙塵完全除掉，電場對煙塵共做功為

1

2

nALqU；
（3）經(jīng)過時間

mL2 qU

，容器中煙塵顆粒的總動能達到最大．

點評：本題屬于較難題目，要正確建立物理模型，依據(jù)相關物理規(guī)律求解．