Question

1．宇航員站在一星球表面上的某高處，以初速度V₀沿水平方向拋出一個(gè)小球，經(jīng)過時(shí)間t，球落到星球表面，小球落地時(shí)的速度大小為V，已知該星球的半徑為R，引力常量為G，求該星球的質(zhì)量及該星球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 根據(jù)平拋知識求得星球表面的重力加速度，再根據(jù)重力提供向心力求得第一宇宙速度的大小．

解答 解：根據(jù)平拋知識有：

小球落地時(shí)的速度${v}_{y}=\sqrt{{v}^{2}-{v}_{0}^{2}}$
小球在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，故可知，星球表面重力加速度g=$\frac{{v}_{y}}{t}=\frac{\sqrt{{v}^{2}-{v}_{0}^{2}}}{t}$
根據(jù)星球表面重力與萬有引力相等有：
$mg=\frac{GmM}{{R}^{2}}$
可得星球的質(zhì)量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{\sqrt{{v}^{2}-{v}_{0}^{2}}{R}^{2}}{G}$
星球的第一宇宙速度為繞星球表面飛行的衛(wèi)星的線速度，據(jù)萬有引力與重力相等和萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$
可得星球第一宇宙速度為$v=\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{\sqrt{{v}^{2}-{v}_{0}^{2}}}{t}R}$
答：星球的質(zhì)量為$\frac{\sqrt{{v}^{2}-{v}_{0}^{2}}{R}^{2}}{G}$，星球的第一宇宙速度為$\sqrt{\frac{\sqrt{{v}^{2}-{v}_{0}^{2}}}{t}R}$．

點(diǎn)評 在萬有引力的應(yīng)用中加入平拋知識的考查，一定程度上增加了題目的綜合性，關(guān)鍵仍是掌握萬有引力與重力和向心力關(guān)系及平拋運(yùn)動(dòng)知識．