Question

9．如圖所示，兩個半徑均為R的甲、乙大環(huán)，都在豎直平面內，甲環(huán)是粗糙的，乙環(huán)是光滑的，兩個大環(huán)上套有相同的小環(huán)，讓甲環(huán)繞圓心O在豎直平面內做沿逆時針方向的勻速圓周運動，甲與小環(huán)的動摩擦因數(shù)為μ，小環(huán)相對大環(huán)靜止的位置與大環(huán)圓心的連線與過圓心豎直線成一定角度，現(xiàn)讓乙環(huán)繞過圓心的豎直軸做勻速圓周運動，結果小環(huán)相對大環(huán)靜止的位置與圓心的連線與豎直軸所成角度與甲環(huán)中小環(huán)的情況相同，則乙環(huán)轉動的角速度為（　�。�

• A． $\sqrt{\frac{μg}{R}}$
• B． $\sqrt{\frac{g\sqrt{1+{μ}^{2}}}{R}}$
• C． $\sqrt{\frac{g}{R\sqrt{1+{μ}^{2}}}}$
• D． $\sqrt{\frac{μg}{R\sqrt{1+{μ}^{2}}}}$

Answer 1

分析 針對兩種情況下的小球受力分析，根據(jù)合力提供向心力，分別求出小球運動的角速度的表達式，然后通過比較即可．

解答 解：甲環(huán)繞圓心O在豎直平面內做沿逆時針方向的勻速圓周運動，小球的受力如圖甲，小球在三個力的作用下處于平衡狀態(tài)，

設小球與圓心的連線與豎直方向之間的夾角是θ，則：N₁cosθ+fsinθ=mg
N₁sinθ-fcosθ=0
f=μN₁
聯(lián)立以上3=三式，得：N₁=mgcosθ
f=mgsinθ
$tanθ=\frac{f}{{N}_{1}}=\frac{μ{N}_{1}}{{N}_{1}}=μ$
對乙環(huán)上的小球，小球受力如圖乙，所受的合力為：ma=F_合=mgtanθ，
小球做圓周運動的軌道半徑為：r=Rsinθ，
根據(jù)F_合=mω²r
得角速度：
ω=$\sqrt{\frac{g}{Rcosθ}}$=$\sqrt{\frac{g\sqrt{1+{μ}^{2}}}{R}}$
故選：B．

點評 該題中，甲圖中的小球處于共點力的平衡狀態(tài)，而乙圖中的小球做勻速圓周運動，分別以小球為研究的對象，結合受力分析即可正確解答．其中解決本題的關鍵知道小球做圓周運動向心力的來源，結合牛頓第二定律進行求解．