Question

11．如圖所示，在距地面2l高空A處以某一水平初速度v投擲飛鏢，測得落地點C距O點的距離OC=2l，在距O點水平距離為1.5l的地面上的B點有一個氣球，選擇適當(dāng)時機(jī)讓氣球以速度v₀=$\sqrt{gl}$勻速上升，在升空過程中被飛鏢擊中，假設(shè)飛鏢在飛行過程中受到的空氣阻力不計，飛鏢和氣球均可視為質(zhì)點，已知重力加速度為g．試求：
（1）飛鏢的初速度v的大小
（2）飛鏢擊中氣球時的速度大小與方向
（3）擲飛鏢和放氣球兩個動作之間的時間間隔△t．

Answer 1

分析 根據(jù)高度求出平拋運(yùn)動的時間，結(jié)合水平位移求出飛鏢的初速度大小．
根據(jù)飛鏢的水平位移求出飛鏢的運(yùn)動時間，結(jié)合速度時間公式和平行四邊形定則求出飛鏢擊中氣球時的速度大小和方向．
根據(jù)豎直位移關(guān)系，結(jié)合運(yùn)動學(xué)公式求出擲飛鏢和放氣球兩個動作之間的時間間隔△t．

解答 解：（1）水平方向上和豎直方向上有：$vt=2l，2l=\frac{1}{2}g{t^2}$，
聯(lián)立解得：$v=\sqrt{gl}$
（2）飛鏢在水平方向上有：$vt'=\frac{3}{2}l$，
解得：$t'=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{l}{g}}$
則豎直分速度 ${v_y}'=gt'=1.5\sqrt{gl}$，
根據(jù)平行四邊形定則知，$v'=\sqrt{v'_y^2+{v^2}}=\sqrt{\frac{13}{4}gl}$，
則$tanθ=\frac{{v}_{y}′}{v}=\frac{3}{2}$
（3）飛鏢下落高度${h_A}=\frac{1}{2}gt{'^2}=\frac{9}{8}l$，
氣球上升高度${h_B}=2l-{h_A}=\frac{7}{8}l$，氣球上升的時間：${t_B}=\frac{h_B}{v_0}=\frac{7}{8}\sqrt{\frac{l}{g}}$，
時間間隔$△t=t'-{t_B}=\frac{5}{8}\sqrt{\frac{l}{g}}$．
答：（1）飛鏢的初速度v的大小為$\sqrt{gl}$；
（2）飛鏢擊中氣球時的速度大小為$\sqrt{\frac{13gl}{4}}$，速度與水平方向的夾角的正切值為$\frac{3}{2}$；
（3）擲飛鏢和放氣球兩個動作之間的時間間隔△t為$\frac{5}{8}\sqrt{\frac{l}{g}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道平拋運(yùn)動在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動規(guī)律，結(jié)合運(yùn)動學(xué)公式靈活求解，難度不大．