Question

9．宇宙間存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的三星系統(tǒng)，其中有一種三星系統(tǒng)如圖所示，三顆質(zhì)量相等的星球位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，任意兩顆星球的距離均為R，并繞其中心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．忽略其他星球?qū)λ鼈兊囊�力作用，引力常量為G，以下對(duì)該三星系統(tǒng)的說法不正確的是（　�。�

• A． 每顆星球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑都等于R
• B． 每顆星球做圓周運(yùn)動(dòng)的加速度與三顆星球的質(zhì)量無關(guān)
• C． 每顆星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T=2πR$\sqrt{\frac{R}{3Gm}}$
• D． 每顆星球做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度v=$\sqrt{\frac{Gm}{R}}$

Answer 1

分析 先寫出任意兩個(gè)星星之間的萬有引力，求每一顆星星受到的合力，該合力提供它們的向心力．
然后用R表達(dá)出它們的軌道半徑，最后寫出用周期和線速度表達(dá)的向心力的公式，整理即可的出結(jié)果．

解答 解：A、由幾何關(guān)系知：每顆星球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑：r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R，故A錯(cuò)誤；
B、任意兩個(gè)星星之間的萬有引力F=$\frac{Gmm}{{R}^{2}}$；
一顆星星受到的合力，F(xiàn)₁=$\sqrt{3}$F；
合力提供它們的向心力：$\sqrt{3}$$\frac{Gmm}{{R}^{2}}$=ma；
解得：a=$\frac{\sqrt{3}Gm}{{R}^{2}}$；與三顆星球的質(zhì)量m成正比；故B錯(cuò)誤；
C、合力提供它們的向心力：$\frac{\sqrt{3}Gmm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$；故T=T=2πR$\sqrt{\frac{R}{3Gm}}$；故C正確；
D、合力提供它們的向心力：$\sqrt{3}$$\frac{Gmm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$；解得：v=$\sqrt{\frac{Gm}{R}}$；故D正確；
本題選錯(cuò)誤的，故選：AB．

點(diǎn)評(píng) 解決該題首先要理解模型所提供的情景，然后能夠列出合力提供向心力的公式，才能正確解答題目．