Question

10．如圖1所示，一個(gè)與水平方向夾角為37°、長(zhǎng)為L(zhǎng)=2.0m的粗糙傾斜軌道AB，通過水平軌道BC與豎直圓規(guī)道相連，出口為水平軌道DE，整個(gè)軌道除AB段以外都是光滑的，其中AB與BC軌道以微小圓弧相接，在圓軌道的最低點(diǎn)C和最高點(diǎn)H各安裝了一個(gè)壓力傳感器（圖中未畫出）．一個(gè)小物塊以不同的初速度v₀從不同高度水平拋出，到A點(diǎn)時(shí)速度方向都恰好沿AB方向，并沿傾斜軌道滑下，已知物塊與傾斜軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）求小物塊的拋出點(diǎn)和A點(diǎn)的高度差h與v₀應(yīng)滿足的關(guān)系；
（2）若傳感器測(cè)出小物體在軌道內(nèi)側(cè)最低點(diǎn)C和最高點(diǎn)H時(shí)對(duì)軌道的壓力F_N隨F_C變化的圖線如圖2所示，求小物塊的質(zhì)量m；
（3）要使從不同高度平拋的小物體從A點(diǎn)滑下進(jìn)入圓軌道后都不脫離軌道而從水平軌道DE滑出，求豎直圓軌道的半徑R應(yīng)該滿足什么條件．

Answer 1

分析 （1）小物塊被水平拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，到A點(diǎn)時(shí)速度方向都恰好沿AB方向，根據(jù)h求得到達(dá)A點(diǎn)時(shí)豎直分速度，再根據(jù)平行四邊形定則求出豎直分速度和初速度的關(guān)系，即可求得h與v₀應(yīng)滿足的關(guān)系．
（2）小物塊經(jīng)過C點(diǎn)和H點(diǎn)時(shí)由合力提供向心力，由牛頓第二定律分別列式．結(jié)合機(jī)械能守恒定律，得到F_C與F_H的關(guān)系式，結(jié)合圖象的信息求解小物塊的質(zhì)量m．
（3）小物塊恰好通過圓軌道最高點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力．小物塊從開始到圓軌道最高點(diǎn)的過程，運(yùn)用動(dòng)能定理列式，聯(lián)立求解即可．

解答 解：（1）小物塊被水平拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，到A點(diǎn)時(shí)有：
   v_y=$\sqrt{2gh}$
據(jù)題有 tan37°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
所以有 h=$\frac{9{v}_{0}^{2}}{32g}$
（2）根據(jù)向心力公式得：
在最低點(diǎn)C時(shí)有：F_C-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
在最高點(diǎn)H時(shí)有：F_H+mg=m$\frac{{v}_{H}^{2}}{R}$
從C到H，由機(jī)械能守恒定律得：2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{H}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
聯(lián)立解得  F_C-F_H=6mg
由圖象可得 m=0.1kg
（3）當(dāng)v₀=0時(shí)，軌道半徑設(shè)為R₀．
小物塊恰好通過圓軌道最高點(diǎn)時(shí)，有 mg=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{0}}$
從拋出到H的過程，由動(dòng)能定理得：
   mgLsin37°-μmgcos37°•L-mg•2R₀=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得 R₀=0.16m
所以R≤0.16m
答：（1）小物塊的拋出點(diǎn)和A點(diǎn)的高度差h與v₀應(yīng)滿足的關(guān)系是h=$\frac{9{v}_{0}^{2}}{32g}$；
（2）小物塊的質(zhì)量m是0.1kg；
（3）豎直圓軌道的半徑R應(yīng)該滿足的條件是R≤0.16m．

點(diǎn)評(píng) 此題要求分析清楚小物塊的運(yùn)動(dòng)過程，把握每個(gè)過程和狀態(tài)的物理規(guī)律，熟練掌握平拋運(yùn)動(dòng)、動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律、圓周運(yùn)動(dòng)等規(guī)律，根據(jù)物理規(guī)律得解析式來研究圖象的物理意義．