Question

3．如圖所示，圓O的半徑是R，PQ是圓O的直徑，A是圓周上的一點(diǎn)，ABCD是正方形，正方形的邊長(zhǎng)與圓的直徑相等，θ=37°．圓O內(nèi)有垂直PQ豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，ABCD內(nèi)有垂直紙面向外勻強(qiáng)磁場(chǎng)（電場(chǎng)和磁場(chǎng)都沒有畫出）．一個(gè)質(zhì)量為m，帶電量為q的正電荷從P點(diǎn)以初速度圓v₀沿PQ進(jìn)入圓形電場(chǎng)，從A點(diǎn)離開電場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)，進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)電荷的速度方向是沿著對(duì)角線AC，不計(jì)電荷的重力．求：
（1）圓O內(nèi)勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E；
（2）若電荷從B點(diǎn)離開勻強(qiáng)磁場(chǎng)，則電荷在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；
（3）若電荷剛好能垂直BC邊離開磁場(chǎng)，則這時(shí)磁場(chǎng)的磁強(qiáng)應(yīng)強(qiáng)度B．

Answer 1

分析 （1）由類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律根據(jù)位移公式求解；
（2）根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求得進(jìn)入磁場(chǎng)的速度，然后根據(jù)幾何關(guān)系求得中心角即可求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）根據(jù)幾何關(guān)系求得半徑，然后由洛倫茲力做向心力求得磁感應(yīng)強(qiáng)度．

解答 解：（1）電荷從P到A的運(yùn)動(dòng)過程只受電場(chǎng)力作用，做類平拋運(yùn)動(dòng)；
故由類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得：R+Rcosθ=v₀t，$Rsinθ=\frac{1}{2}×\frac{qE}{m}×{t}^{2}$；
所以，圓O內(nèi)勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度$E=\frac{2mRsinθ}{q{t}^{2}}=\frac{2mR{{v}_{0}}^{2}sinθ}{q（R+Rcosθ）^{2}}$=$\frac{10m{{v}_{0}}^{2}}{27qR}$；
（2）由類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得：粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度$v=\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+（\frac{qE}{m}t）^{2}}=\frac{\sqrt{13}}{3}{v}_{0}$；
粒子從A進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度沿AC方向，若電荷從B點(diǎn)離開勻強(qiáng)磁場(chǎng)，那么由幾何關(guān)系可得：運(yùn)動(dòng)半徑$r=\sqrt{2}R$，粒子轉(zhuǎn)過的中心角為$\frac{π}{2}$；
所以，電荷在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間$t=\frac{1}{4}×\frac{2πr}{v}=\frac{3\sqrt{26}πR}{26{v}_{0}}$；
（3）粒子從A進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度沿AC方向，剛好能垂直BC邊離開磁場(chǎng)，那么由幾何關(guān)系可得：運(yùn)動(dòng)半徑$r′=2\sqrt{2}R$；
故有洛倫茲力做向心力可得：$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{r′}$，所以，$B=\frac{mv}{qr′}=\frac{\sqrt{26}m{v}_{0}}{12qR}$；
答：（1）圓O內(nèi)勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E為$\frac{10m{{v}_{0}}^{2}}{27qR}$；
（2）若電荷從B點(diǎn)離開勻強(qiáng)磁場(chǎng)，則電荷在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為$\frac{3\sqrt{26}πR}{26{v}_{0}}$；
（3）若電荷剛好能垂直BC邊離開磁場(chǎng)，則這時(shí)磁場(chǎng)的磁強(qiáng)應(yīng)強(qiáng)度B為$\frac{\sqrt{26}m{v}_{0}}{12qR}$．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子的運(yùn)動(dòng)問題，加速電場(chǎng)一般由動(dòng)能定理或勻加速運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解；偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)由類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解；磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題則根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律結(jié)合幾何條件求解．