Question

5．如圖所示，A是半徑為r的圓形光滑軌道，固定在木板B上，豎直放置；B的左右兩側(cè)各有一光滑擋板固定在地面上，使其不能左右運(yùn)動(dòng)，小球C靜止放在軌道最低點(diǎn)，A，B，C質(zhì)量相等．現(xiàn)給小球一水平向右的初速度v₀，使小球在圓型軌道的內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)，為保證小球能通過(guò)軌道的最高點(diǎn)，且不會(huì)使B離開(kāi)地面，最高點(diǎn)速度v必須滿足（重力加速度為g）（　�。�

• A． 最小值為0
• B． 最大值為2$\sqrt{gr}$
• C． 最小值為$\sqrt{gr}$
• D． 最大值為$\sqrt{3gr}$

Answer 1

分析 小球在環(huán)內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)，通過(guò)最高點(diǎn)速度最小時(shí)，軌道對(duì)球的最小彈力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出小球在最高點(diǎn)的最小速度；
為了不會(huì)使環(huán)在豎直方向上跳起，小球在最高點(diǎn)對(duì)軌道的彈力不能大于2mg，根據(jù)牛頓第二定律求出最高點(diǎn)的最大速度，再根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小球在最低點(diǎn)的速度范圍．

解答 解：在最高點(diǎn)，速度最小時(shí)有：mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{r}$，
解得：v₁=$\sqrt{gr}$．
根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有：2mgr+$\frac{1}{2}$mv₁²=$\frac{1}{2}$mv₁′²，
解得：v₁′=$\sqrt{5gr}$．
在最高點(diǎn)，速度最大時(shí)有：mg+2mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{r}$，
解得：v₂=$\sqrt{3gr}$．
根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：2mgr+$\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$mv₂′²，
解得：v₂′=$\sqrt{7gr}$．
所以保證小球能通過(guò)環(huán)的最高點(diǎn)，且不會(huì)使環(huán)在豎直方向上跳起，在最低點(diǎn)的速度范圍為：$\sqrt{5gr}$≤v0≤$\sqrt{7gr}$；在最高點(diǎn)的速度范圍為：$\sqrt{gr}$≤v≤$\sqrt{3gr}$．故CD正確，AB錯(cuò)誤．
故選：CD．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了牛頓第二定律和機(jī)械能守恒定律，關(guān)鍵理清在最高點(diǎn)的兩個(gè)臨界情況，求出在最高點(diǎn)的最大速度和最小速度．