Question

3．用如圖所示的淺色水平傳送帶AB和斜面BC將貨物運送到斜面的頂端．AB距離L=11m，傳送帶始終以v=12m/s勻速順時針運行．傳送帶B端靠近傾角θ=37°的斜面底端，斜面底端與傳送帶的B端之間有一段長度可以不計的小圓弧．在A、C處各有一個機器人，A處機器人每隔t=1.0s將一個質(zhì)量m=10kg、底部有碳粉的貨物箱（可視為質(zhì)點）輕放在傳送帶A端，貨物箱經(jīng)傳送帶和斜面后到達斜面頂端的C點時速度恰好為零，C點處機器人立刻將貨物箱搬走．已知斜面BC的長度s=5.0m，傳送帶與貨物箱之間的動摩擦因數(shù)μ₀=0.55，貨物箱由傳送帶的右端到斜面底端的過程中速度大小損失原來的$\frac{1}{11}$，不計傳送帶輪的大小，g=10m/s²（sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：
（1）斜面與貨物箱之間的動摩擦因數(shù)μ；
（2）如果C點處的機器人操作失誤，未能將第一個到達C點的貨物箱搬走而造成與第二個貨物箱在斜面上相撞．求兩個貨物箱在斜面上相撞的位置到C點的距離；  （本問結(jié)果可以用根式表示）
（3）從第一個貨物箱放上傳送帶A端開始計時，在t₀=2s的時間內(nèi)，貨物箱在傳送帶上留下的痕跡長度．

Answer 1

分析 （1）貨物箱在傳送帶上做勻加速運動過程，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，由速度位移關(guān)系公式求出貨物箱運動到傳送帶右端時的速度大小，根據(jù)貨物箱由傳送帶的右端到斜面底端的過程中速度大小損失原來的，得到貨物箱剛沖上斜面時的速度．貨物箱在斜面上向上運動過程中做勻減速運動，已知初速度、末速度為零，位移為s，由速度位移關(guān)系公式求出加速度大小，由牛頓第二定律求出斜面與貨物箱之間的動摩擦因數(shù)μ．
（2）由運動學公式分別求出貨物箱由A運動到B的時間和由B運動到C的時間，得到第一個貨物箱沖上斜面C端時第二個貨物箱剛好沖上斜面，然后貨物箱沿斜面向下做勻加速運動，
由牛頓第二定律求出加速度，當?shù)谝粋�貨物箱與第二個貨物箱相遇時，兩者位移大小之和等于斜面的長度s，由位移公式求出相遇時間，再求出兩個貨物箱在斜面上相遇的位置到C端的距離．
（3）根據(jù)位移公式求出第1s內(nèi)貨箱和傳送帶運動的位移，進而得出貨箱第1s留下的痕跡，同理，再求出第2s內(nèi)第一個貨箱留下的痕跡，從而知道第一、二兩個貨箱由1m重合，
t₀=2s時，第二個貨箱在傳送帶上運動了1s，留下的痕跡與第一個貨箱留下的痕跡相等，最后求出2s內(nèi)貨物箱在傳送帶上留下的痕跡的總長度．

解答 解：（1）貨物箱在傳送帶上做勻加速運動過程，
根據(jù)牛頓第二定律可得，μ₀mg=ma₀
解得：a₀=μ₀g=0.55×10m/s²=5.5m/s²，
由v₁²=2a₀L得，貨物箱運動到傳送帶右端時的速度大小為
 v₁=$\sqrt{2{a}_{0}L}$=$\sqrt{2×5.5m/{s}^{2}×11m}$=11m/s＜v=12m/s，
說明貨物箱在傳送帶上一直做勻加速運動．
貨物箱剛沖上斜面時的速度v₂=（1-$\frac{1}{11}$）v₁=（1-$\frac{1}{11}$）×11m/s=10m/s，
貨物箱在斜面上向上運動過程中，由v₂²=2a₁s得，貨箱在斜面上的加速度：
解得：a₁=$\frac{{v}_{2}^{2}}{2s}$=$\frac{（10m/s）^{2}}{2×5m}$=10m/s²，
根據(jù)牛頓第二定律可得，mgsinθ+μmgcosθ=ma₁，
代入數(shù)據(jù)得：10kg×10m/s²×0.6+10kg×10m/s²×0.8=10kg×10m/s²，
解得：μ=0.5．                                     
（2）由v₁=a₀t₁得，貨物箱由A運動到B的時間：
t₁=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{0}}$=$\frac{11m/s}{5.5m/{s}^{2}}$=2s，
由v₂=a₁t₂得，由B運動到C的時間：
t₂=$\frac{{v}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{10m/s}{10m/{s}^{2}}$=1s，
可見第一個貨物箱沖上斜面C端時第二個貨物箱剛好沖上斜面．
貨物箱沿斜面向下運動，根據(jù)牛頓第二定律有：mgsinθ-μmgcosθ=ma₂
則加速度大小a₂=gsinθ-μgcosθ=10m/s²×0.6-0.5×10m/s²×0.8=2.0m/s²，
設(shè)第一個貨物箱在斜面C端沿斜面向下運動與第二個貨物箱相撞的過程所用時間為t，
則有：v₂t-$\frac{1}{2}$a₁t²+$\frac{1}{2}$a₂t²=s，
代入數(shù)據(jù)得：10m/s×t-$\frac{1}{2}$×10m/s²×t²+-$\frac{1}{2}$×2.0m/s²×t²=5.0m，
解得：t=$\frac{5-\sqrt{5}}{4}$s，
兩個貨物箱在斜面上相遇的位置到C端的距離
s₁=$\frac{1}{2}$a₂t²=$\frac{1}{2}$×2.0m/s²×（$\frac{5-\sqrt{5}}{4}$s）²=$\frac{15-5\sqrt{5}}{8}$m．
（3）第1s內(nèi)貨箱運動的位移：
x₁=$\frac{1}{2}$a₀t²=$\frac{1}{2}$×5.5m/s²×（1s）²=2.75m．
傳送帶的位移：
x₂=vt=12m/s×1s=12m，
則第1s留下的痕跡：
d₁=x₂-x₁=12m-2.75m=9.25m，
所以t=1s時，第二個貨箱輕放在第一個貨箱后2.75m處，第一個貨箱前9.25m有痕跡，
第2s內(nèi)，對于第一個木箱有：v₀=a₀t=5.5m/s²×1s=5.5m/s，
x₁′=v₀t+$\frac{1}{2}$a₀t²=5.5m/s×1s+$\frac{1}{2}$×5.5m/s²×（1s）²=8.25m，
第一個貨箱留下的痕跡：d₂=x₂-x₁′=12m-8.25m=3.75m，
所以第一、二兩個貨箱由1m重合，
t₀=2s時，第二個貨箱在傳送帶上運動了1s，
留下的痕跡：d₃=d₁=9.25m，
故2s內(nèi)，貨物箱在傳送帶上留下的痕跡長度：
d=d₁+d₂+d₃-1m=9.25m+3.75m+9.25m-1m=21.25m．
答：（1）斜面與貨物箱之間的動摩擦因數(shù)μ=0.5；
（2）兩個貨物箱在斜面上相撞的位置到C點的距離為0.48m；
（3）貨物箱在傳送帶上留下的痕跡長度為21.25m．

點評 此題文字較多，首先要有耐心讀題，該題涉及到相對運動的過程，要認真分析物體的受力情況和運動情況，對于傳送帶問題，關(guān)鍵是分析物體的運動情況，要邊計算邊分析，不能只定性分析．