Question

19．下暴雨時，有時會發(fā)生山體滑坡或泥石流等地質(zhì)災(zāi)害．某地有一傾角為θ=37°（sin37°=$\frac{3}{5}$）的山坡C，上面有一質(zhì)量為m的石板B，其上下表面與斜坡平行；B上有一碎石堆A（含有大量泥土），A和B均處于靜止狀態(tài)，如圖所示．假設(shè)某次暴雨中，A浸透雨水后總質(zhì)量也為m（可視為質(zhì)量不變的滑塊），在極短時間內(nèi)，A、B間的動摩擦因數(shù)μ₁減小為$\frac{3}{8}$，B、C間的動摩擦因數(shù)μ₂減小為0.5，A、B開始運動，此時刻為計時起點；在第2s末，B的上表面突然變?yōu)楣饣�，�?SUB>2保持不變．已知A開始運動時，A離B下邊緣的距離l=27m，C足夠長，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力．取重力加速度大小g=10m/s²．求：
（1）在0～2s時間內(nèi)A和B加速度的大小
（2）A在B上總的運動時間．

Answer 1

分析 （1）對A、B受力分析，根據(jù)牛頓第二定律可以求出加速度的大��；
（2）根據(jù)A、B的加速度的大小，利用速度時間的關(guān)系式和它們之間的距離可以計算時間的大�。�

解答 解：（1）在0～2s時間內(nèi)，A和B的受力如圖所示，

其中f₁、N₁是A與B之間的摩擦力和正壓力的大小，f₂、N₂是B與C之間的摩擦力和正壓力的大小，方向如圖所示．
由滑動摩擦力公式和力的平衡條件得
f₁=μ₁N₁ ①
N₁=mgcosθ      ②
f₂=μ₂N₂ ③
N₂=N₁+mgcosθ    ④
規(guī)定沿斜面向下為正，設(shè)A和B的加速度分別為a₁和a₂，
由牛頓第二定律得
mgsinθ-f₁=ma₁ ⑤
mgsinθ+f₁-f₂=ma₂ ⑥
聯(lián)立①②③④⑤⑥式，并代入題給的條件得
a₁=3m/s² ⑦
a₂=1m/s²⑧
（2）在t₁=2s時，設(shè)A和B的速度分別為v₁和v₂，則
v₁=a₁t₁=6m/s    ⑨
v₂=a₂t₁=2m/s    ⑩
t＞t₁時，設(shè)A和B的加速度分別為a₁′和a₂′，此時A與B之間摩擦力為零，
同理可得：
a₁′=6m/s²⑪
a₂′=-2m/s²⑫
即B做減速運動．
設(shè)經(jīng)過時間t₂，B的速度減為零，則有
v₂+a₂′t₂=0⑬
聯(lián)立⑩⑫⑬式得
t₂=1s
在t₁+t₂時間內(nèi)，A相對于B運動的距離為
s=$（\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}+{v}_{1}{t}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{1}^{′}{t}_{2}^{2}）-（\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}+{v}_{2}{t}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{2}^{′}{t}_{2}^{2}）$ 
=12m＜27m
此后B靜止不動，A繼續(xù)在B上滑動．
設(shè)再經(jīng)過時間t₃后A離開B，則有
l-s=$（{v}_{1}+{a}_{1}^{′}{t}_{2}）{t}_{3}+\frac{1}{2}{a}_{1}^{′}{t}_{3}^{2}$
可得
t₃=1s（另一解不合題意，舍去）
設(shè)A在B上總的運動時間為t_總，有
t_總=t₁+t₂+t₃=4s
（利用下面的速度圖線求解也可）

答：（1）在0～2s時間內(nèi)A和B加速度的大小分別為3m/s²和1m/s²；
（2）A在B上總的運動時間為4s．

點評 本題是對牛頓第二定律和運動學(xué)公式的綜合的應(yīng)用，分析清楚物體的運動的情況和受力的情況，根據(jù)運動學(xué)的公式來求解，本題的難度比較大．