Question

11．2010年10月1日，“嫦娥二號(hào)”成功發(fā)射，已知“嫦娥二號(hào)”繞月飛行軌道近似圓形，距離月球表面高度為H，飛行周期為T(mén)，月球的半徑為R，萬(wàn)有引力常量為G．試求：
（1）月球的質(zhì)量M；
（2）如果在月球表面做平拋運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)，物體拋出時(shí)離地面高度為h（h＜R），水平位移為L(zhǎng)，則物體拋出時(shí)初速度是多少？

Answer 1

分析 （1）“嫦娥二號(hào)”的軌道半徑r=R+H．根據(jù)月球?qū)Α版隙鸲��?hào)”的萬(wàn)有引力提供“嫦娥二號(hào)”的向心力，列方程求解月球的質(zhì)量．
（2）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出平拋的初速度．

解答 解：（1）令月球質(zhì)量為M，根據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：$G\frac{mM}{（R+H）^{2}}=m（R+H）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得月球的質(zhì)量為：M=$\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）在月球表面重力等于萬(wàn)有引力有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
可得月球表面重力加速度為：g=$G\frac{M}{{R}^{2}}=\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{{T}^{2}{R}^{2}}$
根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)知：在月球表面h處將物體水平拋出，物體水平位移為：L=${v}_{0}\sqrt{\frac{2h}{g}}$
所以物體水平拋出的速度為：${v}_{0}=\frac{L}{\sqrt{\frac{2h}{g}}}=\frac{L}{\sqrt{\frac{2h}{\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{{T}^{2}{R}^{2}}}}}$=$\frac{2π（R+H）L}{TR}\sqrt{\frac{R+H}{2h}}$
答：（1）月球的質(zhì)量為$\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）如果在月球表面做平拋運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)，物體拋出時(shí)離地面高度為h（h＜R），水平位移為L(zhǎng)，則物體拋出時(shí)初速度是$\frac{2π（R+H）L}{TR}\sqrt{\frac{R+H}{2h}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查應(yīng)用萬(wàn)有引力定律解決實(shí)際問(wèn)題的能力，關(guān)鍵要建立模型，理清思路，重力加速度g是聯(lián)系天體運(yùn)動(dòng)和星球表面物體的運(yùn)動(dòng)的橋梁．